新人教版九年级数学上册：《解一元二次方程》教学案

21.1解一元二次方程（1）【教学目标】知识与技能：1.会用开平方法解形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程2.探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程．过程与方法：在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。情感态度价值观：体会由未知向已知转化的思想方法．【教学重难点】重点：用直接开平方法和配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n0)的形式.【教学过程】一、复习引入【问题】1.求出下列各式中x的值，并说说你的理由．（1）x2=9（2）x2=5（3）x2=a（a0）．说明：复习平方根的意义，解形如x2=n的方程，为继续学习引入作好铺垫．2.什么是完全平方式？3.填上适当的数，使下列各式成立.（1）x2+6x+=(x+3)2(2)x2+8x+=(x+)2（3）a2+2ab+=(a+)2(4)a2-2ab+=(a-)2二、探索新知【问题】一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？分析：学生独立分析题意，发现若设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可以刷的面积，列出方程：10×6x2=1500整理，得x2=25x=±5x1=5,x2=-5棱长不能为负数，所以盒子的棱长为5dm说明：在学生列出方程后，让学生讨论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解．让学生感受开平方可以解一些简单的一元二次方程．归纳：一般地，对于方程2xp（1）当P＞0时，方程有两个不等的实数根（2）当P=0时，方程有两个相等的实数根（3）当P＜0时，方程没有实数根【探究】你认为怎样解方程2(3)5x？学生独立分析问题，发现和【问题】中的方程形式类似，可以利用平方根的定义，直接开平方得到35x，于是得到135x，235x归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．说明：在学生讨论方程的解法时，注意引导学生根据降次的思想，利用配方的方法解决问题，进而体会配方法解方程的一般步骤．【探究】怎样解方程2640xx？归纳：1.通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；2.配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程说明：引导学生根据降次的思想，利用配方的方法把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解方程．【例题讲解】例：解下列方程（1）x2－8x+1=0；（2）2213xx；（3）23640xx．学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律．经过分析得到（1）中经过移项可以化为281xx，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到2228414xx，得到（x－4）2=15；（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即23122xx，方程两边都加上23()4，方程可以化为231()416x；（3）按照（2）的方式进行处理．总结：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式20axbxc；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．说明：在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理等），通过解几个具体的方程，归纳作配方法解题的一般过程．归纳：一般地，对于方程2()xnp（1）当P＞0时，方程有两个不等的实数根，1xnp，2xnp（2）当P=0时，方程有两个相等的实数根12xxn（3）当P＜0时，方程没有实数根三、巩固练习教材9页第1、2题．说明：检查学生对基础知识的掌握情况，进一步掌握配方法四、小结作业小结：1.要熟练直接开平方法和配方法的技巧，来解一元二次方程，2.掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。3.直接开平方飞=法和配方法解一元二次方程的解题思想：“降次”即由二次降为一次。作业：说明：通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识21.1解一元二次方程（1）一、选择题1．方程2160y的根是（）.(A)4(B)4(C)4(D)无实数根2．方程2(2)4x的根为（）.(A)124,4xx(B)124,0xx(C)120,2xx(D)124,0xx3．用配方法解方程0582xx，正确的变形为（）.(A)11)6(2x(B)11)4(2x(C)2(4)11x(D)以上都不对4．若式子249xmx是完全平方式,则m的值是().(A)43(B)43(C)43(D)235．方程2(25)0x的解的情况是().(A)有两个相等的实数根(B)只有一个实数根(C)有两个不等的实数根(D)没有实数根6．（山东聊城）用配方法解一元二次方程20axbxc（0a），此方程可变形为（）A．2224()24bbacxaaB．2224()24bacbxaaC．2224()24bbacxaaD．2224()24bacbxaa二、填空题7．方程22.5(0.3)1.60x的根是.8．根据题意填空：(1)226___(__)xxx；(2)225___(__)xxx；(3)224___(__)3xxx(4)22412___(23)xxx9．（2014甘肃省白银市）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=．三、解答题10．用直接开平方法解方程:(1)23270x；(2)221.505x；11．用配方法解方程：(1)242xx；(2)27304xx；(3)2483xx；(4)2441018xxx；12.（河北省）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程)0(02acbxax的求根公式时，对于042acb的情况，她是这样做的：由于0a，方程02cbxax变形为：,2acxabx……第一步222)2()2(abacabxabx，……第二步22244)2(aacbabx，……第三步)04(44222acbaacbabx，……第四步aacbbx242．……第五步（1）嘉淇的解法从第______步开始出现错误；事实上，当042acb时，方程)0(02acbxax的求根公式是______．（2）用配方法解方程02422xx．参考答案：1．D；2．B；3.B；4．A；5．A6．A7．121.1,0.5xx；8．(1)9，3；(2)254，52；(3)49，23；(4)9；9．1;10．[解](1)123,3xx；(2)121515,22xx；11．[解](1)1226,26xx；(2)1217,22xx；(3)1213,22xx；(4)1232xx.12.解：（1）四；aacbbx242．（2）方程02422xx变形，得2422xx，124122xx，25)1(2x，51x，51x，所以4x或6x．