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思维特训(二十一)角的运动问题方法点津·角的运动主要包括角的旋转、折叠以及三角尺的旋转．解决策略：在某一时刻，利用角的位置(大小)，建立方程求解，或借助整体思想、分类讨论思想、数形结合思想进行探究与求解．典题精练·类型一角的折叠1．(1)如图21－S－1①，OC是∠AOB内的一条射线．将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF＝25°，求∠AOB的度数；(2)如图②，∠MON＝20°，OC是∠MON内部的一条射线，第一次操作分为两个步骤：第一步：将OC沿OM向∠MON外部翻折，得到OM1，第二步：将OC沿ON向∠MON外部翻折，得到ON1；第二次操作也分为两个步骤：第一步：将OC沿OM1向∠MON外部翻折，得到OM2；第二步：将OC沿ON1向∠MON外部翻折，得到ON2；…依此类推，在第________次操作的第________步恰好第一次形成一个周角，并求∠MOC的度数．图21－S－1类型二射线的旋转2．如图21－S－2，已知∠AOB＝90°，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转．当OC与OA成180°角时，OC与OD同时停止旋转．(1)当OC旋转10秒时，∠COD＝________°；(2)当OC与OD的夹角是30°时，求旋转的时间；(3)当OB平分∠COD时，求旋转的时间．图21－S－23．如图21－S－3，已知∠AOB＝20°，∠AOE＝100°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE.(1)求∠COD的度数；(2)若以O为观察中心，OA为正东方向，则射线OD的方向角是____________；(3)若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°、每秒3°的速度，同时绕点O逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过几秒，∠AOE＝42°？图21－S－3类型三角的旋转4．如图21－S－4①，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB＝150°，∠COD＝30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC.(1)求∠MON的度数；(2)如图②，若∠AOC＝15°，将∠COD绕点O以每秒x°的速度逆时针旋转10秒，此时∠AOM＝711∠BON，如图③所示，求x的值．图21－S－4类型四三角尺的旋转5．将一副三角尺如图21－S－5①所示摆放在直线AD上(三角尺OBC和三角尺MON，∠OBC＝90°，∠BOC＝45°，∠MON＝90°，∠MNO＝30°)，保持三角尺OBC不动，将三角尺MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒．(1)当t＝________时，OM平分∠AOC，如图②，此时∠NOC－∠AOM＝________；(2)继续旋转三角尺MON，如图③，使得OM，ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC与∠AOM有怎样的数量关系，并说明理由；(3)若在三角尺MON开始旋转的同时，另一个三角尺OBC也绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时同时停止(自行画图分析)．①当t＝________时，OM平分∠AOC?②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系．图21－S－56．O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一块三角尺的直角顶点放在点O处．(1)如图21－S－6①，将三角尺MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝________；(2)如图②，将三角尺MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；(3)将三角尺MON绕点O逆时针旋转至图③的位置时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．图21－S－6详解详析1．解：(1)因为将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF＝25°，所以∠AOB＝2∠COE＋2∠COF＝2(∠EOC＋∠COF)＝50°.(2)在第五次操作的第一步恰好第一次形成一个周角．设∠MOC＝x°，则16×20°＋16x°＝360°，解得x＝2.5，所以∠MOC＝2.5°.2．解：(1)因为射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转，所以当OC旋转10秒时，∠COD＝90°－4°×10－1°×10＝40°，故答案为：40.(2)设旋转t秒时，OC与OD的夹角是30°.如图①，则4t＋t＝90－30，解得t＝12；如图②，则4t＋t＝90＋30，解得t＝24.综上所述，旋转的时间是12秒或24秒．(3)如图③，设旋转m秒时，OB平分∠COD，则4m－90＝m，解得m＝30，故旋转的时间是30秒．3．解：(1)因为∠AOB＝20°，∠AOE＝100°，所以∠EOB＝∠AOE－∠AOB＝80°.又因为OB平分∠AOC，OD平分∠AOE，所以∠AOC＝2∠AOB＝40°，∠AOD＝12∠AOE＝50°，所以∠COD＝∠AOD－∠AOC＝50°－40°＝10°.(2)由(1)知∠AOD＝50°，所以射线OD的方向角为北偏东40°.(3)设经过x秒，∠AOE＝42°，则3x－5x＋100＝42或5x－(3x＋100)＝42，解得x＝29或x＝71.即经过29秒或71秒，∠AOE＝42°.4．解：(1)因为∠AOB＝150°，∠COD＝30°，OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC，所以∠MON＝∠MOD＋∠NOC－∠COD＝12(∠AOD＋∠BOC)－∠COD＝12(∠AOB＋∠COD)－∠COD＝60°.(2)由题意，得∠BOD＝105°－10x°，∠AOC＝15°＋10x°，所以∠BOC＝135°－10x°，∠AOD＝45°＋10x°.又因为∠AOM＝711∠BON，且OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC，所以∠AOD＝711∠BOC，即45°＋10x°＝711(135°－10x°)，解得x＝2.5.5．解：(1)因为∠AOC＝45°，OM平分∠AOC，所以∠AOM＝12∠AOC＝22.5°，所以t＝2.25.因为∠MON＝90°，∠MOC＝22.5°，所以∠NOC－∠AOM＝∠MON－∠MOC－∠AOM＝45°.故答案为2.25，45°.(2)∠NOC－∠AOM＝45°.理由：因为∠AON＝90°＋(10t)°，所以∠NOC＝90°＋(10t)°－45°＝45°＋(10t)°.因为∠AOM＝(10t)°，所以∠NOC－∠AOM＝45°.(3)①如图，因为∠AOB＝(5t)°，所以∠AOC＝45°＋(5t)°.因为OM平分∠AOC，所以∠AOM＝12∠AOC，而∠AOM＝(10t)°，所以10t＝12(45＋5t)，解得t＝3.②∠NOC－12∠AOM＝45°.理由：因为∠AOB＝(5t)°，∠AOM＝(10t)°，∠MON＝90°，∠BOC＝45°，所以∠AON＝90°＋∠AOM＝90°＋(10t)°，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(5t)°，所以∠NOC＝∠AON－∠AOC＝90°＋(10t)°－45°－(5t)°＝(5t)°＋45°，所以∠NOC－错误!∠AOM＝45°.6．解：(1)因为∠MON＝90°，∠BOC＝65°，所以∠MOC＝∠MON－∠BOC＝90°－65°＝25°.(2)因为∠BOC＝65°，OC是∠MOB的平分线，所以∠MOB＝2∠BOC＝130°.所以∠BON＝∠MOB－∠MON＝130°－90°＝40°.所以∠CON＝∠BOC－∠BON＝65°－40°＝25°.(3)因为∠BOC＝65°，所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝180°－65°＝115°.因为∠MON＝90°，所以∠AOM＋∠NOC＝∠AOC－∠MON＝115°－90°＝25°.又因为∠NOC＝∠AOM，所以2∠NOC＝25°.所以∠NOC＝12.5°.所以∠NOB＝∠NOC＋∠BOC＝77.5°.