2014届高三数学一轮复习-(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)8.8曲线与方程课件-新人教A

[知识能否忆起]1．曲线与方程在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是；(2)以这个方程的解为坐标的点都在．那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．这个方程的解曲线上2．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到的距离与它到的距离之比为定值e.一个定点一条定直线e的范围圆锥曲线表示的曲线椭圆双曲线抛物线0e1e1e＝1[小题能否全取]1．(教材习题改编)方程x2＋xy＝x表示的曲线是()A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线解析：方程变为x(x＋y－1)＝0，则x＝0或x＋y－1＝0，故方程表示直线x＝0或直线x＋y－1＝0.答案：C答案：D2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0解析：由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.3．(教材习题改编)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1.则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．答案：D4．动点P(x，y)到定点A(3,4)的距离比P到x轴的距离多一个单位长度，则动点P的轨迹方程为________．解析：由|PA|＝|y|＋1，即x－32＋y－42＝|y|＋1.当y0时得x2－6x－10y＋24＝0.当y≤0时得(x－3)2＋15＝6y，无轨迹．答案：x2－6x－10y＋24＝0(y0)5.一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一点，点A在圆周上．把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于P点，当A点运动时，点P的轨迹是________．解析：由条件知折痕CD垂直平分AQ，故|PQ|＋|PO|＝|PA|＋|PO|＝|OA|＞|OQ|，故点P的轨迹是以O，Q为焦点的椭圆．答案：椭圆求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系或F(x，y)＝0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程．直接法求轨迹方程[例1](2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足MB∥OA，MA＝MB·BA，M点的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．[自主解答](1)设M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1)．所以MA＝(－x，－1－y)，MB＝(0，－3－y)，AB＝(x，－2)．再由题意可知(MA＋MB)·AB＝0，即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0所以曲线C的方程为y＝14x2－2.(2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝14x2－2上一点，因为y′＝12x，所以l的斜率为12x0.因此直线l的方程为y－y0＝12x0(x－x0)，即x0x－2y＋2y0－x20＝0.则O点到l的距离d＝|2y0－x20|x20＋4.又y0＝14x20－2，所以d＝12x20＋4x20＋4＝12x20＋4＋4x20＋4≥2，当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合理的直角坐标系；(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；(3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程．直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．1．已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．(1)求动点P的轨迹C的方程：(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．解：(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝yx＋1·yx－1＝λ，整理得x2－y2λ＝1(λ≠0，x≠±1)．即动点P的轨迹C的方程为x2－y2λ＝1(λ≠0，x≠±1)．(2)①当λ0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；②当－1λ0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点)；③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心、1为半径的圆(除去点(－1,0)，(1,0))；④当λ－1时，轨迹C为中心在原点、焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．[例2](2012·海淀模拟)点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是()A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．直线定义法求轨迹方程[自主解答]如图1，令定点A为定圆的圆心，动点M为定圆半径AP的中点，故|AM|＝|MP|，此时M的轨迹为一个圆，圆心为A，半径为AM，故A可能．如图2，以F1为定圆的圆心，F1P为其半径，在F1P上截|MP|＝|MA|，∵|PF1|＝r，∴|MF1|＋|PM|＝|MF1|＋|MA|＝r＞|F1A|，由椭圆的定义可知，M的轨迹是以F1、A为焦点的椭圆，故B可能．图1图2如图3，以F1为定圆的圆心，F1P为其半径，延长F1P到点M，使得|MP|＝|MA|，则有|MF1|－|PM|＝r，∴|MF1|－|MA|＝r＜|F1A|，由双曲线的定义可知，M的轨迹是以F1、A为焦点的双曲线的右支，故C可能．如图4，定点A在定圆F上，则满足题意的点M的轨迹是以F为端点的一条射线，故D不可能．图3图4[答案]D1．运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．2．定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况．利用条件把待定系数求出来，使问题得解．2．(2012·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.4x221－4y225＝1B.4x221＋4y225＝1C.4x225－4y221＝1D.4x225＋4y221＝1解析：∵M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝52，c＝1，则b2＝a2－c2＝214，∴椭圆的标准方程为4x225＋4y221＝1.答案:D代入法求轨迹方程[例3](2011·陕西高考)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线l被C所截线段的长度．[自主解答](1)设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(xP，yP)，因为点D是P在x轴上投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|，所以xP＝x，且yP＝54y，∵P在圆x2＋y2＝25上，∴x2＋54y2＝25，整理得x225＋y216＝1，即C的方程是x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线l的方程是y＝45(x－3)，设此直线与C的交点是A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程x225＋y216＝1得x225＋x－3225＝1，化简得x2－3x－8＝0.∴x1＝3－412，x2＝3＋412，∴线段AB的长度为|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋1625x1－x22＝4125×41＝415，即所截线段的长度是415.代入法也叫坐标转移法，是求轨迹方程常用的方法，其题目特征是：点P的运动与点Q的运动相关，且点Q的运动有规律(有方程)，只需将P的坐标转移到Q的方程中，整理即可得P的轨迹方程．3．(2012·河南模拟)已知定点A(2,0)，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为()解析：设P(x0，y0)，M(x，y)，则x＝x0＋22，y＝y02.所以x0＝2x－2，y0＝2y.，由于y20＝x0，所以4y2＝2x－2.即y2＝12(x－1)．答案：DA．y2＝2(x－1)B．y2＝4(x－1)C．y2＝x－1D．y2＝12(x－1)[典例](2011·湖北高考改编)平面内与两定点A1(－a,0)，A2(a,0)(a＞0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系．[解]设动点为M，其坐标为(x，y)，当x≠±a时，由条件可得kMA1·kMA2＝yx＋a·yx－a＝y2x2－a2＝m，即mx2－y2＝ma2(x≠±a)，又A1(－a,0)，A2(a,0)的坐标满足mx2－y2＝ma2，故依题意，曲线C的方程为mx2－y2＝ma2.当m＜－1时，曲线C的方程为x2a2＋y2－ma2＝1，C是焦点在y轴上的椭圆；当m＝－1时，曲线C的方程为x2＋y2＝a2，C是圆心在原点的圆；当－1＜m＜0时，曲线C的方程为x2a2＋y2－ma2＝1，C是焦点在x轴上的椭圆；当m＞0时，曲线C的方程为x2a2－y2ma2＝1，C是焦点在x轴上的双曲线．[题后悟道]由含参数的方程(二次)讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，分类标准的确立有两点：一是二次项系数的符号；二是二次项系数的大小，然后根据各种情况进行讨论．针对训练(2012·湖北高考改编)设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)．Z当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．解：如图，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)，可得x＝x0，|y|＝m|y0|，所以x0＝x，|y0|＝1m|y|.①因为A点在单位圆上运动，所以x20＋y20＝1.②将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2＋y2m2＝1(m＞0，且m≠1)．因为m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(－1－m2，0)，(1－m2，0)；当m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－m2－1)，(0，m2－1)．