高三数学一轮复习-(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)1.2命题、充分条件与必要条件课件-新人

[知识能否忆起]一、命题的概念可以、用文字或符号表述的语句叫作命题．其中判断为的语句叫真命题，判断为的语句叫假命题．判断真假假真二、四种命题及其关系1．四种命题间的相互关系：2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性．三、充分条件与必要条件1．如果p⇒q，则p是q的，q是p的．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的．相同没有关系充分条件必要条件充要条件[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列命题是真命题的为()A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若xy，则x2y2解析：由1x＝1y得x＝y，A正确，易知B、C、D错误．答案：A2．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的()解析：命题p：若x，则y，其逆命题q：若y，则x，那么命题q的否命题r：若綈y，则綈x，所以p是r的逆否命题．答案：BA．逆命题B．逆否命题C．否命题D．以上判断都不对3．(2012·温州适应性测试)设集合A，B，则A⊆B是A∩B＝A成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B.因此，A⊆B是A∩B＝A成立的充要条件．答案：C4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：____________________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”5．下列命题中所有真命题的序号是________．①“ab”是“a2b2”成立的充分条件；②“|a||b|”是“a2b2”成立的必要条件；③“ab”是“a＋cb＋c”成立的充要条件．解析：①由2－3⇒/22(－3)2知，该命题为假；②由a2b2⇒|a|2|b|2⇒|a||b|，知该命题为真；③ab⇒a＋cb＋c，又a＋cb＋c⇒ab，∴“ab”是“a＋cb＋c”的充要条件为真命题．答案：②③1.充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”．2．从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．[例1](2012·湖南高考)命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tanα≠1B．若α＝π4，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠π4D．若tanα≠1，则α＝π4[自主解答]以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠π4”．[答案]C在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．1.下列命题中正确的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－312是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④[自主解答]①中否命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，正确；③中，Δ＝1＋4m，当m0时，Δ0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确．[答案]B[例2](1)(2012·陕西高考)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)·(a－2)＝0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[自主解答](1)复数a＋bi＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0；而ab＝0表示a＝0或者b＝0，故“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．(2)若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”；故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.[答案](1)B(2)A本例(1)条件不变，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的________条件．解析：若ab＝0，则a＝0，b≠0或a≠0，b＝0或a＝0，b＝0，只有a＝0，b≠0时a＋bi为纯虚数；若a＋bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，所以ab＝0.答案：必要不充分条件充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．2．下列各题中，p是q的什么条件？(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sinA＝sinB；(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.解：(1)若A＝B，则sinA＝sinB，即p⇒q.又若sinA＝sinB，则2RsinA＝2RsinB，即a＝b.故A＝B，即q⇒p.所以p是q的充要条件．(2)p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0，或x≤－1}＝B，∵AB，∴p是q的充分不必要条件．[例3]方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是()A．0a≤1B．a1C．a≤1D．0a≤1或a0[自主解答]法一：当a＝0时，原方程变形为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根；当a≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a≥0，即a≤1.设两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2a，x1x2＝1a，当有一负实根时，a≤1，1a0⇒a0；有两个负实根时，a≤1，－2a0，1a0⇒0a≤1.综上所述，a≤1.法二：(排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C.[答案]C利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p是q的充分不必要条件，则p⇒q且qp；(2)若p是q的必要不充分条件，则pq，且q⇒p；(3)若p是q的充要条件，则p⇔q.3．(2013·兰州调研)“x∈{3，a}”是不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A．(3，＋∞)B.－∞，－12∪3，＋∞C.－∞，－12D.－∞，－12∪3，＋∞解析：由2x2－5x－3≥0得x≤－12或x≥3.∵x∈{3，a}是不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件，又根据集合元素的互异性a≠3，∴a≤－12或a3.[答案]D[典例](2012·山东高考)设a0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[常规解法]“函数f(x)＝ax在R上是减函数”的充要条件是p：0a1.因为g′(x)＝3(2－a)x2，而x2≥0，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是2－a0，即a2.又因为a0且a≠1，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是q：0a2且a≠1.显然p⇒q，但qp，所以p是q的充分不必要条件，即“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件．[答案]A1．充分、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法．2．三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．[巧思妙解]p：“函数f(x)＝ax在R上是减函数”等价于0a1.q：“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”等价于2－a0，即a2.而{a|0a1}是{a|a2}的真子集．故答案为充分不必要.针对训练命题p：|x＋2|2；命题q：13－x1，则綈q是綈p的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：解|x＋2|2，即x＋2－2或x＋22，得x－4或x0，所以p：x－4或x0，故綈p：－4≤x≤0；解13－x1，得2x3，所以q：2x3，綈q：x≤2或x≥3.显然{x|－4≤x≤0}{x|x≤2，或x≥3}，所以綈q是綈p的必要不充分条件．答案：B教师备选题（给有能力的学生加餐）1．(2012·济南模拟)在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝()A．1B．2C．3D．4解题训练要高效见“课时跟踪检测（二）”解析：若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则必有a1b2－a2b1＝0，但当a1b2－a2b1＝0时，直线l1与l2不一定平行，还有可能重合，因此命题p是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f(p)＝2.答案：B2．条件p：π4απ2，条件q：f(x)＝logtanαx在(0，＋∞)内是增函数，则p是q的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：∵f(x)＝logtanαx在(0，＋∞)内是增函数，∴tanα1，得α∈π4＋kπ，π2＋kπ，k∈Z，而π4，π2π4＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)．∴p是q的充分不必要条件．答案：B3．判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．解：法一：写出逆否命题进行判断．原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根．逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a0.判断如下：∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a0，∴a－140，∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a0”为真命题．法二：利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)判断∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋10，∴方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋10，∴方程x2＋x－a＝0有实根．故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真．又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．法三：利用充要条件与集合关系判断．令A＝{a∈R|a≥0}，B{a∈R|方程x2＋x－a＝0有实根}＝a∈Ra≥－14，则AB.∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真，