2014届高三数学一轮复习-(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)7.5简单几何体面积与体积课件

[知识能否忆起]柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝V＝＝圆锥S侧＝V＝＝＝13πr2l2－r22πrlπrlShπr2h13Sh13πr2h面积体积圆台S侧＝V＝13(S上＋S下＋S上·S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱S侧＝V＝正棱锥S侧＝V＝正棱台S侧＝V＝13(S上＋S下＋S上·S下)h球S球面＝V＝π(r1＋r2)lChSh12Ch′13Sh12(C＋C′)h′4πR243πR3[小题能否全取]1．(教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的全面积是()A.3＋34a2B.34a2C.3＋32a2D.6＋34a2解析：∵侧面都是直角三角形，故侧棱长等于22a，∴S全＝34a2＋3×12×22a2＝3＋34a2.答案：A2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A．12πB．36πC．72πD．108π解析：依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为32×2＝6，高为322－12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π.答案：B3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．9π＋42B．36π＋18C.92π＋12D.92π＋18解析：这个空间几何体上半部分是一个半径为32的球，下半部分是一个底面正方形边长为3、高为2的正四棱柱，故其体积为4π3×(32)3＋3×3×2＝9π2＋18.答案：D4．(教材习题改编)表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则πrl＋πr2＝3π，πl＝2πr.解得r＝1，即直径为2.答案：25．(2012·洛阳模拟)如图是一个几何体的三视图．若它的体积是33，则a＝________.解析：由三视图可知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，且底边上的高为a的等腰三角形，所以有2a2×3＝33，得a＝3.答案：31.几何体的侧面积和全面积：几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．2．求体积时应注意的几点：(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．3．求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理．[例1](2012·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()几何体的表面积A．28＋65B．30＋65C．56＋125D．60＋125[自主解答]由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4.∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5.又CD⊥BD，CD⊥AE，∴CD⊥平面ABD.故CD⊥AD，∴AC＝41且S△ACD＝10.在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，故AB＝25.在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4，故S△BCD＝10，且BC＝41.在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10.在△ABC中，AB＝25，BC＝AC＝41，则AB边上的高h＝6，故S△ABC＝12×25×6＝65.因此，该三棱锥的表面积为S＝30＋65.[答案]B1．以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．2．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．1．(2013·西安模拟)一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积(单位：cm2)为()A．48＋122B．48＋242C．36＋122D．36＋242解析：依题意知，该几何体是如图所示的三棱锥P－ABC，其中PD⊥平面ABC，底面三角形ABC是一个等腰直角三角形，BC＝CA＝6，AC⊥BC，AB＝AC2＋BC2＝62，PD＝4，点D到边BC的距离为DE＝3，连接PE，则有PE⊥BC，PE＝DE2＋PD2＝5，因此，该几何体的表面积等于12×62＋2×12×6×5＋12×62×4＝48＋122.答案：A(1)(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．12πB．45πC．57πD．81π几何体的体积(2)(2012·山东高考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．[自主解答](1)由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两几何体组合而成，直观图如图所示．圆锥的底面半径为3，高为4，圆柱的底面半径为3，高为5，∴V＝V圆锥＋V圆柱＝13Sh1＋Sh2＝13×π×32×4＋π×32×5＝57π.(2)VD1－EDF＝VF－DD1E＝13S△D1DE·AB＝13×12×1×1×1＝16.[答案](1)C(2)161．计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”．2．(1)(2013·长春调研)四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，N为PB中点，则三棱锥P－ANC与四棱锥P－ABCD的体积比为()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶8解析：设正方形ABCD面积为S，PD＝h，则体积比为13Sh－13·12S·12h－13·12Sh13Sh＝14.答案：C(2)(2013·浙江模拟)如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是()A．32B．24C．8D.323解析：此几何体是高为2的棱柱，底面四边形可切割成为一个边长为3的正方形和2个直角边分别为3,1的直角三角形，其底面积S＝9＋2×12×3×1＝12，所以几何体体积V＝12×2＝24.答案：B与球有关的几何体的表面积与体积问题[例3](2012·新课标全国卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.26B.36C.23D.22[自主解答]由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，如图所示，S△ABC＝34×AB2＝34，高OD＝12－332＝63，∴VS－ABC＝2VO－ABC＝2×13×34×63＝26.[答案]A1．解决与球有关的“切”、“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．2．记住几个常用的结论：(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①正方体的外接球，则2R＝3a；②正方体的内切球，则2R＝a；③球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为1∶3.3．(1)(2013·琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()A．23πB.8π3C．43D.16π3解析：由三视图可知几何体的直观图如图所示．其中侧面DBC⊥底面ABC，取BC的中点O1，连接AO1，DO1知DO1⊥底面ABC且DO1＝3，AO1＝1，BO1＝O1C＝1.在Rt△ABO1和Rt△ACO1中，AB＝AC＝2，又∵BC＝2，∴∠BAC＝90°.∴BC为底面ABC外接圆的直径，O1为圆心，又∵DO1⊥底面ABC，∴球心在DO1上，即△BCD的外接圆为球大圆，设球半径为R，则(3－R)2＋12＝R2，∴R＝23.∴S球＝4πR2＝4π×232＝16π3.答案：D某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法.常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形.对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题.1．对称补形[典例1](2012·湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.8π3B．3πC.10π3D．6π[解析]由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V＝34×π×12×4＝3π.[答案]B[题后悟道]对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助．2．联系补形[典例2](2012·辽宁高考)已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．[解析]由于正三棱锥的侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，故以PA，PB，PC为棱补成正方体如图，可知球心O为体对角线PD的中点，且PO＝3，又P到平面ABC的距离为h，则13×34×(22)2·h＝13×12×2×2×2.∴h＝233.∴球心到截面距离为3－233＝33.[答案]33[题后悟道]三条侧棱两两互相垂直，或一侧棱垂直于底面，底面为正方形或长方形，则此几何体可补形为正方体或长方体，使所解决的问题更直观易求．针对训练(2012·潍坊模拟)已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于________．解析：如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝22＋22＋22＝2R，所以R＝62.故球O的体积V＝4πR33＝6π.答案：6π教师备选题（给有能力的学生加餐）1．两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为()A．(6－33)πB．(8－43)πC．(6＋33)πD．(8＋43)π解题训练要高效见“课时跟踪检测（四十六）”解析：设球O1、球O2的半径分别为r1、r2，则3r1＋r1＋3r2＋r2＝3，r1＋r2＝3－32，从而4π(r21＋r22)≥4π·r1＋r222＝(6－33)π.答案：A2．已知某球半径为R，则该球内接长方体的表面积的最大值是()A．8R2B．6R2C．4R2D．2R2解析：设球内接长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则a2＋b2＋c2＝(2R)2，所以S表＝2(ab＋bc＋ac)≤2(a2＋b2＋c2)＝8R2，当且仅当a＝b＝c＝233R时，等号成立．答案：A3.右图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是()A．20＋3πB．24＋3πC．20＋4πD．24＋4π解析：根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体，其中，正方体的边长为2，半圆柱的底面半径为1，母线长为2.故该几何体的表面积为4×5＋2×π＋2×12π＝20＋3π.答案：A4．(2012·湖北高考)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知