2014届高三数学一轮复习-(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)9.3二项式定理课件-新人教A

[知识能否忆起]1．二项式定理(1)二项式定理公式(a＋b)n＝叫作二项式定理，等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式．C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(2)二项展开式的通项Tr＋1＝为展开式的第项．Crnan－rbrr＋1(3)二项式系数二项展开式中各项的系数(r∈{0,1，…，n})叫作二项式系数．Crn(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝.1＋C1nx＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋xn2．二项式系数的性质对称性：与首末两端的两个二项式系数相等，即Cmn＝Cn－mn.等距离[小题能否全取]1．(教材习题改编)x－1x9的展开式中x3的系数为()A．－84B．84C．168D．－168解析：Tr＋1＝Cr9x9－r·－1xr＝Cr9(－1)rx9－2r，令9－2r＝3得r＝3.故x3的系数为C39(－1)3＝－84.答案：A2．(教材习题改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4.则a0＋a2＋a4的值为()A．9B．8C．7D．6解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，故a0＋a2＋a4＝8.答案：B3．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A．6B．7C．8D．9解析：∵Tr＋1＝Crn(3x)r＝3rCrnxr，由已知条件35C5n＝36C6n，即C5n＝3C6n，∴n！5！n－5！＝3×n！6！n－6！∴n＝7.答案：B4．设二项式x－ax6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．解析：由Tr＋1＝Cr6x6－r－axr＝Cr6(－a)rx6－32r，得B＝C46(－a)4，A＝C26(－a)2，由B＝4A，a＞0，解得a＝2.答案：25．(2012·石景山模拟)x＋2x4的展开式中的常数项为________，展开式中各项系数和为________．(用数字作答)解析：Tr＋1＝Cr4x4－r2xr＝2rCr4x4－2r，r＝2时，可得常数项22C24＝24，令x＝1即可得各项系数和为34＝81.答案：24811.运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Crnan－rbr.注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．2．二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Crn，而后是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与字母的系数有关，可正可负．A．10B．－10C．40D．－40求展开式中的特定项(或系数)[例1](1)(2012·天津高考)在2x2－1x5的二项展开式中，x的系数为()(2)(2012·重庆高考)x＋12x8的展开式中常数项为()A.3516B.358C.354D．105[自主解答](1)二项式2x2－1x5展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cr5(2x2)5－r－1xr＝Cr5·25－r×(－1)rx10－3r，当r＝3时，含有x，其系数为C35·22×(－1)3＝－40.(2)二项展开式的通项Tr＋1＝Cr8(x)8－r12xr＝Cr812rx4－r，当4－r＝0时，r＝4，所以展开式中的常数项为C48124＝358.[答案](1)D(2)B本例(2)中条件不变试求展开式中是否存在无理项？展开式中的中间项是多少？解：由Tr＋1＝12rCr8x4－r且r＝0,1,2，…，8，验证知这九项均为有理项，故无理项是不存在的．由r＝4，展开式的中间项为T5＝124C48x0＝358，即常数项．1．化简通项时注意通项公式表示的是第r＋1项而不是第r项．2．常数项是指通项中字母的指数为0的项，有理项是指通项中字母的指数为整数的项．1．(1)(2012·乌鲁木齐模拟)在(1＋ax)8的展开式中，x3项系数是x2项系数的2倍，则a的值为()A.12B．1C.2D．2(2)(2012·山东济南)设a＝∫π0sinxdx，则二项式ax－1x6的展开式的常数项是()A．160B．－160C．240D．－240解析：(1)二项式(1＋ax)8的展开式的通项是Tr＋1＝Cr8arxr.依题意得，C38a3＝2C28a2，由此解得a＝1.(2)因为a＝(－cosx)|π0＝2，所以二项式的通项是Tr＋1＝Cr6(2x)6－r－1xr，可知当r＝3时是其常数项，故T4＝C36×23×(－1)3＝－160.答案：(1)B(2)B[例2](2012·浙江模拟)若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a0＋a1＋a3＋a5＝()A．122B．123C．243D．244二项式系数和[自主解答]在已知等式中分别取x＝0、x＝1与x＝－1，得a0＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，因此有2(a1＋a3＋a5)＝35＋1＝244，a1＋a3＋a5＝122，a0＋a1＋a3＋a5＝123.[答案]B1．二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、－1或0”，有时也取其他值．2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.2．(1)(2012·天津质检)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝36＋12.令x＝0，则a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝36＋12－1＝364.答案：364(2)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：①a1＋a2＋…＋a7；②a1＋a3＋a5＋a7；③a0＋a2＋a4＋a6；④|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.(*)令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.(**)①∵a0＝C07＝1∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.②((*)－(**))÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1094.③((*)＋(**))÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1093.④∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.[典例](2011·新课标全国卷)x＋ax·2x－1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．－40B．－20C．20D．40[常规解法]令x＝1，由已知条件1＋a＝2，则a＝1.2x－1x5＝C05(2x)5＋C15(2x)4－1x＋C25(2x)3·－1x2＋C35(2x)2－1x3＋C45(2x)－1x4＋－1x5＝32x5－80x3＋80x－401x＋10×1x3－1x5.则常数项为40.[答案]D求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时要抓住一个二项式逐项分类，分析其它二项式应满足的条件，然后再求解结果．此法易出现分类搭配不全，运算失误等错误．[巧思妙解]令x＝1得1＋a＝2，∴a＝1.又2x－1x5的通项Tr＋1＝Cr525－r(－1)r×x5－2r，故分两类：(1)x＋1x的x与2x－1x5展开式的1x相乘．(2)x＋1x的1x与2x－1x5展开式的x相乘．故令5－2r＝－1得r＝3，令5－2r＝1得r＝2.从而常数项为C35×22×(－1)3＋C25×23×(－1)2＝40.针对训练1.在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是()A．－297B．－252C．297D．207解析：分两类1－x3中常数项与(1＋x)10展开式的x5相乘，1－x3中－x3与(1＋x)10展开式的x2相乘．故x5的系数为207.答案:D2．(1＋x3)x＋1x26展开式中的常数项为________．解析：x＋1x26的通项公式为Tr＋1＝Cr6x6－r1x2r＝Cr6x6－3r，(1＋x3)x＋1x26的展开式中的常数项由两部分组成：①由6－3r＝0，得r＝2，C26＝15；②由6－3r＝－3，得r＝3，C36＝20.相加得15＋20＝35.答案：351．若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy＜0，则x的取值范围是()教师备选题（给有能力的学生加餐）A.－∞，15B.45，＋∞C.－∞，－45D．(1，＋∞)解题训练要高效见“课时跟踪检测（六十）”解析：二项式(x＋y)9的展开式的通项是Tr＋1＝Cr9·x9－r·yr.依题意有C19·x9－1·y≤C29·x9－2·y2，x＋y＝1，xy＜0，即x8·1－x－4x7·1－x2≤0，x1－x＜0，由此解得x＞1，即x的取值范围是(1，＋∞)．答案:D2．(2012·广州模拟)在(3x－23x)11的展开式中任取一项，则所取项为有理项的概率P＝________.解析：因为二项展开式中共有12项，其通项公式Tr＋1＝Cr11·(3x)11－r·(－23x)r＝Cr11·311－r·(－2)r·x33－r6，r＝0,1，…，11，其中只有当r＝3或r＝9时，才是有理项，故P＝212＝16.答案：163．已知在3x－33xn的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．解：通项公式为Tr＋1＝Crnxn－r3(－3)rx－r3＝(－3)rCrnxn－2r3.(1)∵第6项为常数项，∴r＝5时，有n－2r3＝0，解得n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，∴x2的项的系数为C210(－3)2＝405.(3)由题意知10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z.令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k，∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k＝2,0，－2，即r＝2,5,8.∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x2，－61236,295245x－2.4．求证：(1)32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N＋)；(2)3n＞(n＋2)·2n－1(n∈N＋，n＞2)．证明：(1)∵32n＋2－8n－9＝32·32n－8n－9＝9·9n－8n－9＝9(8＋1)n－8n－9＝9(C0n8n＋C1n8n－1＋…＋Cn－1n·8＋Cnn·1)－8n－9＝9(8n＋C1n8n－1＋…＋Cn－2n82)＋9·8n＋9－8n－9＝9×82(8n－2＋C1n·8n－3＋…＋Cn－2n)＋64n＝64[9(8n－2＋C1n8n－3＋…＋Cn－2n)＋n]．∴32n＋2－8n－9能被64整除．(2)因为n∈N＋，且n＞2，所以3n＝(2＋1)n展开后至少有4项．(2＋1)n＝2n