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[知识能否忆起]一、排列与排列数1．排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，_________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．按照一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的___________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为Amn.所有不同排列的个数2．排列数二、组合与组合数1．组合从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．合成一组所有不同组合的个数Cmn三、排列数、组合数公式及性质公式排列数公式Amn＝___________________＝________组合数公式Cmn＝AmnAmm＝＝性质(1)Ann＝；(2)0！＝(1)C0n＝；(2)Cmn＝；(3)Cmn＋Cm－1n＝备注m≤nn(n－1)…(n－m＋1)n！n－m！nn－1…n－m＋1m！n！m！n－m！n！11Cn－mnCmn＋1[小题能否全取]1．(教材习题改编)A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有()A．24种B．60种C．90种D．120种解析：可先排C、D、E三人，共有A35种，剩余A、B两人只有一种排法．故满足条件的排法共有A35×1＝60(种)．答案：B2．如图，M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有()A．8种B．12种C．16种D．20种解析：把四个小岛看作四个点，可以两两之间连成C24＝6条线段，任选三条，共有C36种情形，但有4种情形不满足题意，∴不同的建桥方法有C36－4＝16种．答案：C3．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有()A．180种B．360种C．720种D．960种解析：按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个各有4种选法，因此该车主的车牌号码可选的所有可能情况共有A15·A13·A14·A14·A14＝960(种)．答案：D4．(2012·上海模拟)上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C12C24种情况；若3人中没有甲企业的，则共有C34种情况．由分类加法原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有C12C24＋C34＝16(种)．答案：165．(2012·本溪模拟)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(以数字作答)解析：①只有1名老队员的排法有C12·C23·A33＝36(种)；②有2名老队员的排法有C22·C13·C12·A22＝12(种)，所以共48种．答案：481.解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”．2．对于限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决．[例1](2012·上海长宁一模)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有()A．210个B．300个C．464个D．600个排列问题[自主解答]首位数字有C15种选法，个位、十位数字有C25种排法，中间三位有A33种排法．根据分步乘法计数原理知共有C15·C25·A33＝300(个)满足条件的6位数．[答案]B本例所求的6位数中，有多少个偶数？解：若个位排0，则有A55个偶数；若个位排2，则十位可从3,4,5中任选1个，有C13C13A33个偶数；若个位排4，则十位只能排5，有C13A33个偶数，由分类加法计数原理得偶数的个数为A55＋C13C13A33＋C13A33＝192.求排列应用题的主要方法(1)对无限制条件的问题——直接法；(2)对有限制条件的问题，对于不同题型可采取直接法或间接法，具体如下：①每个元素都有附加条件——列表法或树图法；②有特殊元素或特殊位置——优先排列法；③有相邻元素(相邻排列)——捆绑法；④有不相邻元素(间隔排列)——插空法．1．(2012·抚州模拟)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有________条(用数字表示)．(2)(2012·福建厦门质检)上海世博会期间某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有________种．(用数字作答)解析：(1)因为直线过原点，所以C＝0，从1,2,3,5,7,11这6个数中任取2个作为A、B，两数的顺序不同，表示的直线不同，所以直线的条数为A26＝30.(2)将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有A22A22A23＝24种不同的展出方案．答案：(1)30(2)24[例2](1)(2012·陕西高考)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种组合问题(2)甲、乙、丙3个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，则可以排出的不同值班表有()A．90种B．89种C．60种D．59种[自主解答](1)分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C23＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C24＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20(种)．(2)特殊元素优先考虑，甲同学不值周一的班，则先考虑甲，分步完成：①从除周一外的5天中任取2天安排甲，有C25种；②从剩下的4天中选2天安排乙，有C24种；③仅剩2天安排丙，有C22种．由分步乘法计数原理，可得一共有C25·C24·C22＝60(种)．[答案](1)C(2)C组合问题的两种主要类型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理．2．(2012·济南模拟)如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有()A．11种B．20种C．21种D．12种解析：当第一组开关有一个接通时，电路接通为C12(C13＋C23＋C33)＝14种方式；当第一组有两个接通时，电路接通有C22(C13＋C23＋C33)＝7种方式．所以共有14＋7＝21种方式．答案：C排列组合的综合应用[例3](1)三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有()A．72个B．120个C．240个D．360个(2)(2012·泉州五校质检)现有4位教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出1道题进行说题，则恰有1道题没有被这4位选中的情况有()A．288种B．144种C．72种D．36种[自主解答](1)从0～9这10个数字中任选3个，有C310种，这三个数字组成的凹数有A22个，故共有C310A22＝240(个)．(2)首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为C34，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为C24，最后将3道题目分配给3组老师，分配方式为A33，即满足题意的情况共有C34C24A33＝144(种)．[答案](1)C(2)B解决排列组合应用问题的关键是要分析问题中有无限制条件．对于有限制条件的排列组合问题要注意考虑限制条件的元素或位置．对较复杂的排列组合问题，要采用先选后排的原则．3．(1)某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种类为()A．720B．520C．600D．360(2)(2012·北京海淀区期末)世博会期间，某班有四名学生参加了志愿者工作．将这四名学生分到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有()A．36种B．30种C．24种D．20种解析：分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，则不同的发言顺序种类为C12C35A44；第二类，甲、乙同时参加，则不同的发言顺序种类为C22C25A22A23.依加法计数原理，所求的不同的发言顺序种类为C12C35A44＋C22C25A22A23＝600.(2)甲有两种选择，剩下的3个人可以每个展馆都分一人，也可以在其他两个展馆中一个展馆分两人，一个展馆分一人，所以不同的分配方案有C12(A33＋C23C12)＝24种．答案：(1)C(2)C解决排列组合应用问题时，一是要明确问题中是排列还是组合或排列组合混合问题；二是要讲究一些基本策略和方法技巧．常用的有：元素位置分析法、捆绑法或插空法、先整体后局部法、定序问题相除法、正难则反排除法、分组分配法等．下面就常见的特殊元素、位置优先法，捆绑或插空法及正难则反排除法举例说明．1．特殊元素、位置优先法[典例1](2012·郑州模拟)1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有()A．450种B．460种C．480种D．500种[解析]法一：(元素分析法)先排老师有A14种方法，再排学生有A55种方法，共有A14·A55＝480种排法．法二：(位置分析法)先排两端有A25种排法，再排其余位置有A44种排法，共有A25·A44＝480种排法．[答案]C[题后悟道]解决排列组合问题最基本的方法是位置分析法和元素分析法，若以位置为主，需首先满足特殊位置的要求，再处理其他位置；若以元素为主，需先满足特殊元素的要求，再处理其他元素．2．捆绑法、插空法[典例2](2012·绥化一模)有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是()A．12B．24C．36D．48[解析]2盆黄菊花捆绑作为一个元素与一盆红菊花排列，2盆白菊花采用插空法，所以这5盆花的不同摆放共有A22A22A23＝24种．[答案]B[题后悟道]插空法一般是先排没有限制条件的元素，再按要求将不相邻的元素插入排好的元素之间；对于捆绑法，一般是将必须相邻的元素看作一个“大元素”，然后再与其余“普通元素”全排列，但不要忘记对“大元素”内的元素进行排列．3．正难则反排除法[典例3](2012·北京崇文一模)从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有()A．36种B．30种C．42种D．60种[解析]法一：(直接法)选出3名志愿者中含有1名女生2名男生或2名女生1名男生，故共有C12C26＋C22C16＝2×15＋6＝36种选法．法二：(间接法)从8名学生中选出3名，减去全部是男生的情况，故共有C38－C36＝56－20＝36种选法．[答案]A[题后悟道]对于“至