数列的概念与简单表示法第一课时PPT课件-人教A版数学高一必修5第二章数列2.1

第二章数列2.1数列的概念与简单表示法学习目标1.理解数列的概念．(重点)2.掌握数列的通项公式及应用．(重点)3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(难点、易错点)数学的产生源于现实生活的需要，数列也不例外.传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年—约公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图(1)所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，将石子摆成如图(2)所示的正方形状，就将其所对应石子个数称为正方形数．情景导入你能将三角形数和正方形数所对应的一列数分别写出吗？本节我们就来解决这个问题．板书————数列的概念与简单表示法。一、数列及其有关概念1．数列按照一定_______排列起来的一列数叫做数列．2．数列的项数列中的__________叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．3．数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，….其中an是数列的第n项，叫做数列的_____．我们常把一般形式的数列简记作____．次序每一个数通项{an}探究新知二、数列的分类1．按项的个数分类类别含义有穷数列项数_____的数列无穷数列项数_____的数列有限无限2.按相邻两项的大小分类类别含义递增数列从第二项起，每一项______它的前一项的数列递减数列从第二项起，每一项______它的前一项的数列常数列各项______的数列摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列大于小于相等三、数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与____之间的关系可以用一个函数式_________来表示，那么这个公式叫做这个数列的_________．nan＝f(n)通项公式根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗？数列通项公式－1,1，－1,1，…an＝1,2,3,4，…an＝1,3,5,7，…an＝2,4,6,8，…an＝1,2,4,8，…an＝1,4,9,16，…an＝1，12，13，14，…an＝(－1)nn2n－12n2n－1n21n注意：除了列举法外，和函数一样，数列还可以用公式法，列表法，图象法等方法来表示．例如，(1)数列：1,3,5,7,9，…用公式法表示为：an＝________________；②用列表法表示为：n12345…an13579…③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)：2n－1，n∈N*(2)数列：1，12，13，14，15，…①用公式法表示为：an＝_______________.②用列表法表示为：n12345…an112131415…③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)：1n，n∈N*类型一数列的概念例1.(1)已知下列数列：①0，0，0，0，0，0；②0，－1，2，－3，4，－5，…；③0，12，23，…，n－1n，…；④1，0.2，0.22，0.23，…；典例剖析其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________．(2)判断下列说法是否正确．①数列2，4，6，8可以表示为{2，4，6，8}．②数列1，2，3，5与5，3，2，1是相同的数列．③1，2，22，23，…，263是递增数列，也是无穷数列．④－1，1，－1，1，…是常数列．【解析】(1)①是常数列且是有穷数列；②是无穷摆动数列；③是无穷递增数列因为n－1n＝1－1n；④是无穷递减数列；【答案】①②③④⑤③④①(2)①错误．数列不能写成集合的形式．②错误．数列中的数是有顺序的，数相同但顺序不同的数列不相同．③错误．此数列虽然含有省略号，但项数有限，是有穷数列．④错误．此数列为摆动数列，不是常数列．1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：(1)确定性(2)可重复性(3)有序性2．判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足an＜an＋1，则是递增数列；若满足an＞an＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列．类型二数列的通项公式例2.写出下列数列的一个通项公式：(1)23，－1，107，－179，2611，－3713，….(2)7，77，777，…，777…7n个7，….(3)12，2，92，8，252，…；(4)1，3，6，10，15，….【分析】分析各项特点，找出规律，得出结论．【解】(1)符号正负相间，可表示为(－1)n＋1，将各项化为分数得：23，－55，107，－179，2611，－3713，即分母为奇数2n＋1，而分子为n2＋1.即各项为：12＋12×1＋1，－22＋12×2＋1，32＋12×3＋1，…∴这个数列的一个通项公式是an＝(－1)n＋1·n2＋12n＋1.(2)由于9，99，999，…的通项为an＝10n－1，则该数列可改写为：79×9，79×99，79×999，…∴这个数列的一个通项公式是an＝79(10n－1)．(3)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…所以，它的一个通项公式为an＝n22，n∈N*.(4)原数列中6＝2×3，10＝2×5，15＝3×5，都可以写成两数乘积，故原数列可写为1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…所以这个数列的一个通项公式是an＝n（n＋1）2.由数列的前几项求通项公式时要注意观察各项与序号之间的关系，比较、归纳得出结论．主要从以下几个方面来考虑：(1)符号用(－1)n或(－1)n＋1调节；(2)将数列的各项结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个基本数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行分析归纳．(3)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系．写出下列数列的一个通项公式：(1)0.9，0.99，0.999，0.9999，…；(2)－12，14，－58，1316，－2932，…；(3)－12，16，－112，120，….【解】(1)原数列可变形为1－110，1－1102，1－1103，1－1104，…，故所给数列的一个通项公式为an＝1－110n.跟踪训练2(2)这个数列各项的绝对值为12，14，58，1316，2932，….分别考虑分子，分母，且(－1)n具有转换符号的作用，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n·2n－32n.(3)an＝－1nnn＋1.例3已知数列{an}的通项公式an＝－1nn＋12n－12n＋1.(1)写出它的第10项；(2)判断233是不是该数列中的项．解(1)a10＝－110×1119×21＝11399.(2)令n＋12n－12n＋1＝233，化简得：8n2－33n－35＝0，解得n＝5.当n＝5时，a5＝－233≠233.∴233不是该数列中的项．类型三数列通项的应用判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解．若方程的解为正整数，则该数值是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项．已知数列{an}的通项公式是an＝n2n2＋1.(1)写出该数列的第4项和第7项；(2)试判断910和110是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，说明理由．【解】(1)由通项公式an＝n2n2＋1,可得a4＝4242＋1＝1617，a7＝7272＋1＝4950.跟踪训练3(2)令n2n2＋1＝910，得n2＝9，所以n＝3(n＝－3舍去)，故910是该数列中的项，并且是第3项；令n2n2＋1＝110，得n2＝19，所以n＝±13，由于±13都不是正整数，因此110不是数列中的项．类型四数列的单调性例4已知数列{an}的通项公式为an＝n2n2＋1.求证：数列{an}为递增数列．证明∵an＝n2n2＋1＝1－1n2＋1，an＋1－an＝1n2＋1－1n＋12＋1＝[n＋12＋1]－n2＋1n2＋1[n＋12＋1]＝2n＋1n2＋1[n＋12＋1].由n∈N*，得an＋1－an0，即an＋1an.∴数列{an}为递增数列．点评：数列是一种特殊的函数，因此可用函数单调性的方法来研究数列的单调性．跟踪训练4已知an＝9nn＋110n(n∈N*)，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．解因为an＋1－an＝910n＋1·(n＋2)－910n·(n＋1)＝910n＋1·n＋2－109n＋1＝910n＋1·8－n9，则当n≤7时，910n＋1·8－n90，当n＝8时，910n＋1·8－n9＝0，当n≥9时，910n＋1·8－n90，所以a1a2a3…a7a8＝a9a10a11a12…，故数列{an}存在最大项，最大项为a8＝a9＝99108.1．数列的定义中的两个关键词：“一列数”，即不止一个数；“一定顺序”，即数列中的数是有序的．2．{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．1．判断(正确的“√”，错误的打“×”)(1)1，7，0，11，－3，…，－1000不构成数列．()(2)数列{an}的通项也可以用an＋1来表示．()(3){an}与an是一样的，都表示数列．()(4)数列1，0，1，0，1，0……是常数列．()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×当堂检测2．下列说法中正确的是()A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列C．数列n＋1n的第k项是1＋1kD．数列0，2，4，6，8，…可表示为an＝2n(n∈N＋)【解析】由数列的定义知A，B错误；D中数列的第1项0无法用an＝2n(n∈N＋)来表示．【答案】C3．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n＋1·n＋32n－1(n∈N＋)，则该数列的第5项为()A．1B．－1C.12D．－12【解析】令n＝5得，an＝12，选C.【答案】C4．已知数列的通项公式为an＝－4n＋10，则数列是________数列．(填递增、递减)．【解析】∵an＋1－an＝－4(n＋1)＋10－[－4n＋10]＝－4＜0,∴an＋1＜an，∴数列为递减数列．【答案】递减