2014届高三数学一轮复习-(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)8.2两直线的位置关系课件-新

[知识能否忆起]1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2．k1＝k2平行(2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线．k1·k2＝－1垂直2．两直线相交交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应．[动漫演示更形象，见配套课件]相交⇔方程组有，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组；重合⇔方程组有．唯一解无解无数个解3．三个距离公式(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离：|AB|＝.x2－x12＋y2－y12(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝.|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d＝.|C2－C1|A2＋B2[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)．若l1⊥l2，则实数m为()A．6B．－6C．5D．－5解析：由已知得k1＝1，k2＝m＋15.∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴1×m＋15＝－1，即m＝－6.答案：B2．(教材习题改编)点(0，－1)到直线x＋2y＝3的距离为()A.55B.5C．5D.15解析：d＝|0＋2×－1－3|5＝5.答案：B3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是()A．(－a－1，－b－1)B．(－b－1，－a－1)C．(－a，－b)D．(－b，－a)解析：设对称点为(x′，y′)，则y′－bx′－a×－1＝－1，x′＋a2＋y′＋b2＋1＝0，解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.答案：B4．l1：x－y＝0与l2：2x－3y＋1＝0的交点在直线mx＋3y＋5＝0上，则m的值为()A．3B．5C．－5D．－8解析：由x－y＝0，2x－3y＋1＝0，得l1与l2的交点坐标为(1,1)．所以m＋3＋5＝0，m＝－8.答案：D5．与直线4x＋3y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________________．解析：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，由3＝|m＋5|42＋32，得m＝10或－20.答案：4x＋3y＋10＝0或4x＋3y－20＝01.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．2．在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax＋By＋C＝0的形式，否则会出错．[例1](2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[自主解答]由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.[答案]A两直线的平行与垂直在本例中若l1⊥l2，试求a.解：∵l1⊥l2，∴a×1＋2×(a＋1)＝0，∴a＝－23.1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．2．(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.1．(2012·大同模拟)设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直解析：由已知得a≠0，sinB≠0，所以两直线的斜率分别为k1＝－sinAa，k2＝bsinB，由正弦定理得k1·k2＝－sinAa·bsinB＝－1，所以两条直线垂直．答案:C[例2](2012·浙江高考)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.两直线的交点与距离问题[自主解答]因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为0－－42－2＝22－2＝2，所以曲线C1与直线l不能相交，故x2＋a＞x，即x2＋a－x＞0.设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝|x0－y0|2＝－x0＋x20＋a2＝x0－122＋a－142≥4a－142＝2，所以a＝94.[答案]941．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解：(1)点P(x0，y0)到与y轴垂直的直线y＝a的距离d＝|y0－a|.(2)点P(x0，y0)到与x轴垂直的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.2．(2012·通化模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为21313，则c的值是________．解析：由题意得63＝a－2≠c－1，得a＝－4，c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋c2＝0，则c2＋113＝21313，解得c＝2或－6.答案：2或－6对称问题[例3](2012·成都模拟)在直角坐标系中，A(4,0)，B(0，4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．210B．6C．33D．25[自主解答]如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4,2)，C(－2,0)，由对称性知，D，M，N，C共线，则△PMN的周长＝|PM|＋|MN|＋|NC|＝|DM|＋|MN|＋|NC|＝|CD|＝40＝210即为光线所经过的路程．[答案]A对称问题主要包括中心对称和轴对称1.中心对称点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足x′＝2a－x，y′＝2b－y.(2)直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(1)2.轴对称点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有n－bm－a×－AB＝－1，A·a＋m2＋B·b＋n2＋C＝0.(2)直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．(1)3．(2012·南京调研)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为()A．3x＋4y＋5＝0B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0D．－3x＋4y＋5＝0解析：与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.答案:A[典例](2013·银川一中月考)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．“题型技法点拨——快得分”系列之（十）妙用直线系求直线方程[常规解法]解方程组3x＋2y－1＝0，5x＋2y＋1＝0，得l1，l2的交点坐标为(－1,2)．由l3的斜率35得l的斜率为－53.则由点斜式方程可得l的方程为y－2＝－53(x＋1)即5x＋3y－1＝0.运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.[巧思妙解]由于l过l1，l2的交点，故可设l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，得λ＝15.代入直线系方程得l方程5x＋3y－1＝0.针对训练求与直线2x＋6y－11＝0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程．解：由题意，设所求直线方程为2x＋6y＋b＝0.令x＝0，得y＝－b6；令y＝0，得x＝－b2，则直线2x＋6y＋b＝0与坐标轴的交点坐标分别为0，－b6，－b2，0.又所围成的三角形面积S＝12·－b6·－b2＝12·b212＝6，所以b2＝144，所以b＝±12.故所求直线方程为2x＋6y＋12＝0或2x＋6y－12＝0.即为x＋3y＋6＝0或x＋3y－6＝0.教师备选题（给有能力的学生加餐）1．点(1，cosθ)(其中0≤θ≤π)到直线xsinθ＋ycosθ－1＝0的距离是14，那么θ等于()A.5π6B.π6或5π6C.π6D.π6或7π6解题训练要高效见“课时跟踪检测（五十）”解析：由已知得|sinθ＋cos2θ－1|sin2θ＋cos2θ＝14，即|sinθ－sin2θ|＝14，∴4sin2θ－4sinθ－1＝0或4sin2θ－4sinθ＋1＝0，∴sinθ＝1±22或sinθ＝12.∵0≤θ≤π，∴0≤sinθ≤1，∴sinθ＝12，即θ＝π6或5π6.答案:B2．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()A．x－2y＋1＝0B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋2y－1＝0解析：l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设其关于l的对称点(x，y)，则x＋02－y－22－1＝0，y＋2x×1＝－1，得x＝－1，y＝－1.即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2方程为x－2y－1＝0.答案:B3．光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解：法一：由x－2y＋5＝0，3x－2y＋7＝0，得x＝－1，y＝2.即反射点M的坐标为(－1,2)．又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－23＝y0x0＋5.而PP′的中点Q的坐标为x0－52，y02，Q点在l上，即3·x0－52－2·y02＋7＝0.由y0x0＋5＝－23，32x0－5－y0＋7＝0.得x0＝－1713，y0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.法二：设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则y0－yx0－x＝－23，又PP′的中点Qx＋x02，y＋y02在l上，即3×x＋x02－2×y＋y02＋7＝0，由y0－yx0－x＝－23，3×x＋x02－y＋y0＋7＝0.可得P点的坐标为x0＝－5x＋12y－4213，y0＝12x＋5y＋2813，代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，故所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.