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1．古典概型的两个特征(1)试验的所有可能结果只有，每次试验只出现其中的结果；(2)每一个试验结果出现的可能性都．有限个一个相同2．古典概型的概率公式对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成，如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝＝.事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数mn3．建立古典概率模型时对基本事件的要求(1)每次试验基本事件出现；(2)基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是．有且只有一个等可能的[小题能否全取]1．(教材习题改编)从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为()A.12B.13C.23D．1解析：基本事件总数为(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共三种，甲被选中共2种．则P＝23.答案：C2．设a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为()A.23B.13C.12D.512解析：由方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实数根，得Δ＝a2－8＞0，故a＝3,4,5,6.根据古典概型的概率计算公式有P＝46＝23.答案：A3．甲、乙两同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机拿回两本，则甲同学拿到一本自己书一本乙同学书的概率是()A.13B.23C.12D.14解析：甲同学从四本书中随机拿回两本，一共有C24种取法，恰好拿到一本自己书一本乙同学书的取法有C12·C12种，故所求概率为P＝C12·C12C24＝23.答案：B4．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________解析：若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人最后一小时浏览的景点可能为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“最后一小时他们同在一个景点”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率为16.答案：165．(2011·江苏高考)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析：采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为13.答案：131.古典概型中基本事件的探求方法：(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的．如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的．如(1,2)(2,1)相同．(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识．2．对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件概率问题去求．[例1](2012·安徽高考)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()简单的古典模型A.15B.25C.35D.45[自主解答]从6个球中任取两球有C26＝15种取法，颜色一黑一白的取法有C12C13＝6种，故概率P＝615＝25.[答案]B在本例条件下，求两球不同色的概率．解：两球不同色可分三类：一红一白，一红一黑，一白一黑．故P＝1×2＋1×3＋2×315＝1115.计算古典概型事件的概率可分三步：(1)算出基本事件的总个数n；(2)求出事件A所包含的基本事件个数m；(3)代入公式求出概率P.1．“≺数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如1469)，在两位的“≺数”中任取一个数比36大的概率是()A.12B.23C.34D.45解析：在两位数中，十位是1的“≺数”有8个；十位是2的“≺数”有7个；……；十位是8的“≺数”有1个．则两位数中，“≺数”共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个，比36大的“≺数”共有5＋4＋3＋2＋1＝18个．故在两位的“≺数”中任取一个数比36大的概率是1836＝12.答案：A复杂的古典概型[例2](2012·江西高考)有一种旋转舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面上安装5只颜色各异的彩灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5.若一个面上至少有3只灯发光，则不需要维修，否则需要更换这个面．(1)求恰好有两个面需要维修的概率；(2)求至少三个面需要更换的概率．解：(1)因为一个面不需要维修的概率为P5(3)＋P5(4)＋P5(5)＝C35＋C45＋C5525＝12，所以一个面需要维修的概率为12.因此，六个面中恰好有两个面需要维修的概率为P6(2)＝C2626＝1564.(2)P6(0)＝C0626＝164，P6(1)＝C1626＝332，P6(2)＝C2626＝1564.故至少有三个面需要更换的概率是1－P6(0)－P6(1)－P6(2)＝1－164－332－1564＝2132.至少三个面需要更换的概率是2132.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型．必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．2．某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．解：(1)由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．(2)记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P(A)＝C14C16C210＝815.(3)Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，j＝0,1,2.Bj表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，j＝0,1,2.B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．Ai与Bj独立，i，j＝0,1,2，且B＝A0·B2＋A1·B1＋A2·B0.故P(B)＝P(A0·B2＋A1·B1＋A2·B0)＝P(A0)·P(B2)＋P(A1)·P(B1)＋P(A2)·P(B0)＝C24C210·C24C210＋C14C16C210·C16C14C210＋C26C210·C26C210＝3175.古典概型在高考中单独命题时常为选择题、填空题，与其他知识结合时常出现在解答题中．考查的主要内容是通过题意判断所给事件为古典概型；将基本事件准确列出，由古典概型概率公式求得结果．以考查理解问题、分析问题、解决问题的能力和应用分类讨论思想、化归思想的能力为主．“大题规范解答——得全分”系列之(十)求古典概型概率的答题模板[典例](2012山东高考·满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．[动漫演示更形象，见配套光盘][教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息观察条件―→五张卡片，红色三张，标号1，2，3.蓝色2张，标号为1，2，从中取两张――――→用列举法所有可能的结果n2．审结论，明解题方向观察所求结论―→求两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率――――――→利用列举的结果分析得出满足这两个条件的结果m3．建联系，找解题突破口利用古典概型概率公式求解―→P＝mn1．审条件，挖解题信息观察条件―→红色卡片三张、蓝色卡片二张、绿色卡片一张，从中取两张――――→用列举法得所有的可能的结果数n2．审结论，明解题方向观察所求结论―→求两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率―――――――――→利用列举的结果分析得出满足这两个条件的结果m3．建联系，找解题突破口利用古典概型概率公式求解―→P＝mn[教你准确规范解题](1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10种．(3分)由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)共3种．(5分)(2)记F是标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种．(9分)由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(6分)从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)共8种．(11分)所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.(12分)[常见失分探因]列举从5张卡片中任取两张的可能结果时，易漏掉或重复某种结果.所求事件包含的事件数列举不全或重复.————————[教你一个万能模板]————————第一步审清题意理清题意，列出所有基本事件，计算基本事件总数第二步建立文字数量关系式分析所求事件，找出所求事件的个数第三步转化为数学模型根据古典概率公式求解得出结论第四步解决数学问题解后反思，规范解答步骤，检查计数过程是否有误1．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为()教师备选题（给有能力的学生加餐）A.521B.27C.13D.821解题训练要高效见“课时跟踪检测（六十二）”解析：从10个球中任意取出4个，一共有C410＝210种取法，取出的小球编号互不相同的取法为C45·24＝80种取法，所以由古典概型公式得取出的编号互不相同的概率为P＝80210＝821.答案：D2．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m、n则直线y＝mnx与圆(x－3)2＋y2＝1相交的概率为________．解析：由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36种．由直线与圆的位置关系得，d＝|3m|m2＋n2＜1，即mn＜24，共有13，14，15，16，26，5种，所以直线y＝mnx与圆(x－3)2＋y2＝1相交的概率为536.答案：5363．(2012·福建高考)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10项和S10＝55.(1)求an和bn；(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.依题意得S10＝10＋10×92d＝55，b4＝q3＝8，解得d＝1，q＝2，所以an＝n，bn＝2n－1.(2)分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个(1,1)，(2,2)．故所求的概率P＝29.