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成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修2-3概率第二章章末归纳总结第二章专题研究3知识梳理1知识结构2即时训练4知识梳理1．理解随机变量概念的注意点(1)随机变量是从随机试验每一个可能的结果所组成的集合到实数集的映射．(2)一旦知道随机变量，即把每个结果都用一个数表示后，认识随机现象就转化为认识这个随机变量所有可能的取值和取每个值时的概率．2．随机变量分布列的理解(1)求随机变量的分布列的步骤为：①明确随机变量X的取值；②准确求出X取每一个值的概率；③写出分布列．(2)已知随机变量的分布列，则它在一个范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(3)分布列的两个性质(即pi0，p1＋p2＋…＝1(i＝1,2，…))是求解有关参数问题的依据．3．学习离散型随机变量时，需注意的三个特殊分布(1)服从两点分布的随机变量的可能取值只有0、1两个，且取值概率之和为1.(2)解决超几何分布的有关问题时，注意识别模型，即将试验中涉及的事物或人转化为相应的产品、次品，得到随机变量服从参数为N，M，n的超几何分布．(3)若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，则需明确在n次独立重复试验中，每次试验的两种结果中哪一个结果出现k次，即试验成功的意义．4．学习事件独立性的注意点(1)识别条件概率的关键是看已知条件的发生与否会不会影响所求事件的概率．(2)事件的独立性是学习独立重复试验的基础知识，也是判断随机变量是否服从二项分布的依据．5．独立事件与互斥事件的辨析独立事件强调一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响，互斥事件强调两事件不能同时发生．6．解决概率问题的两个关键点(1)清楚所求事件是由哪些互斥事件构成，这些事件能否利用独立事件的定义一一求解概率．(2)在求“至少”、“至多”型事件的概率时，采用逆向思维的方法，先求对立事件的概率，再求所求事件的概率．7．求随机变量的均值和方差时的注意点(1)准确运用计算公式．(2)熟记两点分布、二项分布的均值与方差公式，超几何分布的均值公式．8．正态分布(1)连续型随机变量：若随机变量可以取某一区间中的一切值，则这种随机变量称为连续型随机变量．(2)正态分布：正态分布有两个重要的参数：均值μ和方差σ2(σ0)，通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．知识结构专题研究离散型随机变量的分布列某厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产一件甲产品，若是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，若是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元．设生产各种产品相互独立．(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．[解析]本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解的能力．(1)由题设知，X的可能取值为10、5、2、－3，且P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.由此得X的分布列为：X－32510P0.020.080.180.72(2)设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4－n件．由题设知4n－(4－n)≥10，解得n≥145，又n∈N得n＝3，或n＝4.所以P＝C34×0.83×0.2＋C44×0.84＝0.8192.故所求概率为0.8192.离散型随机变量的均值与方差A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为23，服用B有效的概率为12.(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，用X表示这3个试验组中甲类组的个数，求X的分布列和均值．[分析]根据题意可得X的可能值为0,1,2,3，且X～B(3，p)，则由上述公式可得．[解析](1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2，Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2，依题意有：P(A1)＝2×13×23＝49，P(A2)＝23×23＝49.P(B0)＝12×12＝14，P(B1)＝2×12×12＝12，所求概率为P＝P(B0·A1)＋P(B0·A2)＋P(B1·A2)＝14×49＋14×49＋12×49＝49.(2)X的可能值为0、1、2、3且X～B(3，49)．P(X＝0)＝(59)3＝125729，P(X＝1)＝C13×49×(59)2＝100243，P(X＝2)＝C23×(49)2×59＝80243，P(X＝3)＝(49)3＝64729.X的分布列为：E(X)＝0×125729＋1×100243＋2×80243＋3×64729＝43.X0123P1257291002438024364729超几何分布与二项分布某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．(3)从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．[分析](1)重量超过505克的频率组距各为0.01和0.05，组距为5；(2)y的取值为0、1、2，且该事件为等可能事件；(3)恰有两件合格品即有3件次品，2件合格品，由古典概型概率求得[解析](1)重量超过505克的产品数量是40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12件．(2)依题意Y的可能取值为0、1、2，P(Y＝0)＝C228C240＝63130，P(Y＝1)＝C128C112C240＝2865，P(Y＝2)＝C212C240＝11130，∴Y的分布列为Y012P63130286511130(3)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3，令ξ为任取5件产品中重量超过505克的产品数量，则ξ～B(5,0.3)，故所求概率为P(ξ＝2)＝C25(0.3)2(0.7)3＝0.3087.相互独立事件[例4]甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以胜利的概率；(2)若比赛结果为或，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及期望．[解析](1)依次将事件“甲队以胜利”、“甲队以胜利”、“甲队以胜利”记作A1、A2、A3，由题意各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝(23)3＝827，P(A2)＝C23·(23)2·(1－23)×23＝827，P(A3)＝C24(23)2·(1－23)2×12＝427.所以甲队以胜利、以胜利的概率都为827，以胜利的概率为427.(2)设“乙队以胜利”为事件A4，则由题意知P(A4)＝C24(1－23)2·(23)2×(1－12)＝427.由题意，随机变量X的所有可能取值为0、1、2、3，由事件的互斥性得，P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝1627，P(X＝1)＝P(A3)＝427，P(X＝2)＝P(A4)＝427，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝327或P(X＝3)＝(1－23)3＋C23(1－23)2×23×13＝327.∴X的分布列为X0123P1627427427327∴E(X)＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.[例5]已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内()A．(90,110]B．(95,125]C．(100,120]D．(105,115]正态分布[解析]由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]、(100,120]、(95,125]上的概率分别应是0.6826、0.9544、0.9974.由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.6826≈41人，60×0.9544≈57人，60×0.9974≈60人．[答案]C即时训练1．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a，i＝1,2,3，则P(X＝2)等于()A.19B.16C.13D．14[答案]C[解析]根据随机变量的概率和为1，可得12a＋22a＋32a＝3a＝1，解得a＝3.∴P(X＝2)＝22×3＝13.选C.2．D(aX＋E(X)2－D(X))等于()A．无法求解B．0C．a2D(X)D．2aD(X)＋(E(X))2[答案]C[解析]注意到这里的E(X)2及D(X)均为常数，由公式D(aX＋b)＝a2D(X)，可知D(aX＋E(X)2－D(X))＝a2D(X)．3．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(XC)，则P(X≤C)等于()A．0B．1C.12D．与μ和σ的取值有关[答案]C[解析]∵P(X≤C)＝P(XC)，P(XC)＝1－P(X≤C)，∴P(X≤C)＝1－P(X≤C)，即2P(X≤C)＝1，P(X≤C)＝12.二、填空题4．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．[答案]0.128[解析]设Ai表示第i个问题正确．则他回答4个问题晋级的情形有A1A2A3A4与A1A2A3A4且这两个事件互斥，∴P＝P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)＝0.83×0.2＋0.82×0.22＝0.128.5．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是________．[答案]59[解析]∵a、b、c成等差数列，∴2b＝a＋c.又∵a＋b＋c＝1，E(ξ)＝－1×a＋1×c＝c－a＝13.∴a＝16，b＝13，c＝12.∴D(ξ)＝(－1－13)2×16＋(13)2×13＋(23)2×12＝59.三、解答题6.(2015·山东理，19)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137、359、567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和均值E(X)．[解析](1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345；(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C39＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此P(X＝0)＝C38C39＝23，P(X＝－1)＝C24C39＝114，P(X＝1)＝1－114－23＝1142.所以X的分布列为X0－11P231141142则E(X)＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.