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第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入[知识能否忆起]一、向量的有关概念名称定义向量既有又有的量叫作向量，向量的大小叫作向量的(或称)．大小方向长度模名称定义零向量的向量叫作零向量，其方向是的，零向量记作0.单位向量与向量a，且长度的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0.平行向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线，则称这两个向量平行或共线，规定零向量与任一向量．相等向量长度相等且方向的向量．相反向量长度相等且方向的向量.长度为零同方向为单位1任意平行或重合平行相同相反2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝;(2)结合律：(a＋b)＋c＝．减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则b＋a(b＋c)a＋向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘向量实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度为|λa|＝.它的方向：当λ0时，λa与a的方向；当λ0时，λa与a的方向；当λ＝0时，λa＝0，方向.表示λa的有向线段就是表示向量a的有向线段伸长或压缩．当|λ|1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上；当|λ|1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上λ(μa)＝；(λ＋μ)a＝；λ(a＋b)＝.|λ||a|相同相反任意伸长为原来的|λ|倍缩短为原来的|λ|倍(λμ)aλa＋μaλa＋λb3．向量共线的判定定理和性质定理(1)向量共线的判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得，则向量b与非零向量a共线，即(a≠0)⇒a∥b.(2)向量共线的性质定理：若b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得，即a∥b(a≠0)⇒.b＝λab＝λab＝λab＝λa[小题能否全取]1．下列命题正确的是()A．不平行的向量一定不相等B．平面内的单位向量有且仅有一个C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量D．若a与b平行，则b与a方向相同或相反解析：对于B，单位向量不是仅有一个，故B错；对于C，a与c的方向也可能相反，故C错；对于D，若b＝0，则b的方向是任意的，故D错，综上可知选A.答案：A2.如右图所示，向量a－b等于()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解析：由题图可得a－b＝＝e1－3e2.BA答案：C3．(教材习题改编)设a，b为不共线向量，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是()A．AD＝BCB．AD＝2BCC．AD＝－BCD．AD＝－2BC解析：AD＝AB＋BC＋CD＝a＋2b＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC.答案：B4．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝_______.解析：|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.答案：25．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.解析：由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以λ＝－k，1＝3k，解得k＝13，λ＝－13.答案：－13共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．[例1]给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；向量的有关概念③若a与b同向，且|a||b|，则ab；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[自主解答]①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．②正确．∵AB＝DC∴|AB|＝|DC|且AB∥DC.又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．[答案]C反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC且AB与DC方向相同，因此AB＝DC.③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．1．平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；(3)向量平行与起点的位置无关.A．0B．1C．2D．31．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.答案：D[例2](1)(2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()向量的线性运算A．0B．BEC．ADD．CF(2)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝13CA＋λCB，则λ等于()A.23B.13C．－13D．－23[自主解答](1)如图，∵在正六边形ABCDEF中，CD＝AF，BF＝CE，∴BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋EF＝BF＋EF＝CE＋EF＝CF.(2)∵CD＝CA＋AD，CD＝CB＋BD，∴2CD＝CA＋CB＋AD＋BD.又∵AD＝2DB，∴2CD＝CA＋CB＋13AB＝CA＋CB＋13(CB－CA)＝23CA＋43CB.∴CD＝13CA＋23CB，即λ＝23.[答案](1)D(2)A若(2)中的条件作如下改变：若点D是AB边延长线上一点且|BD|＝|BA|，若CD＝λCB＋μCA，则λ－μ的值为________．解析：∵CD＝CA＋AD＝CA＋2AB＝CA＋2(CB－CA)＝2CB－CA＝λCB＋μCA.∴λ＝2，μ＝－1.∴λ－μ＝3.答案：3在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则求解，并注意利用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知识．2．(2013·临安调研)若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；其中正确的有()②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①式的等价式是AB－BC＝DA－CD，左边＝AB＋CB，右边＝DA＋DC，不一定相等；②式的等价式是AC－BC＝AD－BD，AC＋CB＝AD＋DB＝AB成立；③式的等价式是AC－DC＝AB＋BD，AD＝AD成立．答案：C[例3]设两个非零向量a与b不共线．共线向量(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[自主解答](1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB.∴AB，BD共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，即k2－1＝0.∴k＝±1.1．当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数法和方程思想的运用．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．3．已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因为a，b不共线，所以有t－3＋3k＝0，t－2k＝0，解之得t＝65.故存在实数t＝65使C，D，E三点在一条直线上．[典例](2012·四川高考)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|[尝试解题]对于A，当a＝－b时，a|a|≠b|b|；对于B，注意当a∥b时，a|a|与b|b|可能反向；对于C，当a＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|；对于D，当a∥b，且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时a|a|≠b|b|.综上所述，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是a＝2b.[答案]C1.解答本题的易误点有两点：(1)不知道分别表示与a，b同向的单位向量.(2)误认为由|a|＝|b|及a∥b能推出两向量相等，而忽视了方向.2.解决向量的概念问题要注意两点：(1)要考虑向量的方向；(2)要考虑零向量是否也满足条件.,abab,abab针对训练对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由a∥b⇒a＝λb，不能得出a＋b＝0.答案：A教师备选题（给有能力的学生加餐）1．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是()A．λ＝0B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0解题训练要高效见“课时跟踪检测（二十六）”解析：若e1与e2共线，则e2＝λ′e1.因此a＝(1＋λλ′)e1，此时a∥b.若e1与e2不共线，设a＝μb，则e1＋λe2＝μ·2e1，因此λ＝0,1－2μ＝0.答案：BA．a＋34bB.14a＋34bC.14a＋14bD.34a＋14b2.如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD等于()解析：AD＝AB＋BD＝AB＋34BC＝a＋34(b－a)＝14a＋34b.答案：BA．重心外心B．重心内心C．外心重心D．外心内心3．(2012·合肥模拟)已知点O，N在△ABC所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，则点O，N依次是△ABC的()解析：由|OA|＝|OB|＝|OC|知，O为△ABC的外心；设D为AB的中点，则NA＋NB＝2ND，NA＋NB＋NC＝0，得NC＝－2ND，可知N为△ABC的重心．答案：C