2014届高三数学一轮复习-(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)4.3平面向量的数量积与平面向

[知识能否忆起]一、两个向量的夹角1．夹角的定义：定义范围已知两个向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角(如图)．向量夹角θ的范围是，当θ＝时，两向量共线；当θ＝π2时，两向量垂直，记作a⊥b(规定零向量可与任一向量垂直).非零0或π[0，π]2．射影的定义：设θ是a与b的夹角，则叫作向量b在a方向上的射影．叫作a在b方向上的射影．射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量．当时，它是正值；当时，它是负值；当θ＝90°时，它是0.|b|cosθ|a|cosθθ为锐角θ为钝角3．平面向量数量积的定义：已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，把叫作a与b的数量积(或内积)，记作.4．数量积的几何意义：a与b的数量积等于的乘积，或的乘积．5．数量积的物理意义：力对物体做功，就是.|a||b|cosθa·ba的长度|a|与b在a方向上射影|b|cosθb的长度|b|与a在b方向上射影|a|cosθ力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s二、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cosθ(θ为a与e的夹角)．2．a⊥b⇔.3．a·a＝，|a|＝a·a.4．cosθ＝.(θ为a与b的夹角)5．|a·b||a||b|.a·b＝0|a|2≤a·b|a||b|三、数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝.3．对λ∈R，λ(a·b)＝＝．a·c＋b·c(λa)·ba·(λb)四、数量积的坐标表示设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：1．a·b＝.2．a⊥b⇔.3．|a|＝.4．cosθ＝a·b|a||b|＝.(θ为a与b的夹角)a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22a1b1＋a2b2a1b1＋a2b2＝0a21＋a22[小题能否全取]1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是()A．|a|＝B．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·bD．|a·b|≤|a|·|b|解析：|a·b|＝|a|·|b||cosθ|，只有a与b共线时，才有|a·b|＝|a||b|，可知B是错误的．答案：Ba·a2．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为()答案：DA．2B.32C．－2D．－32解析：|b|cosθ＝3cos120°＝－32.A.5B.10C．25D．10解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，∴x＝2.∴a＝(2,1)，∴a2＝5，b2＝5，|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋5＝10.答案：B3．(2012·重庆高考)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()4．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.解析：a·b＝2×3×32＝3.答案：35．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角θ＝的大小为________.解析：∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2，∴a·b＝2＋a2＝3.∴cosθ＝a·b|a|·|b|＝31×6＝12.∴向量a与b的夹角为π3.答案：π31.对两向量夹角的理解(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．2．向量运算与数量运算的区别(1)若a，b∈R，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0.(2)若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c.(3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．(4)若a，b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．平面向量数量积的运算[例1](1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．3(2)法一：∵AC＝AP＋PC＝AP＋PD＋DC＝AP＋PD＋AB＝AP＋PD＋AP＋PB＝2AP＋PD＋PB，又由AP⊥BD得AP⊥PD且AP⊥PB，∴AP·PD＝0，且AP·PB＝0于是AP·AC＝AP·(2AP＋PD＋PB)＝2AP2＝2|AP|2＝18.(2)(2012·湖南高考)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP·AC＝________.法二：AP·AC＝AP·(AB＋AD)＝AP·(AB＋AB＋BD)＝2AP·AB＋AP·BD＝2|AP|·|AB|·cosAP，AB＝2×|AP|·|AB|·|AP||AB|＝2×|AP|2＝2×32＝18.[答案](1)C(2)18平面向量数量积问题的类型及求法(1)已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|·cosθ求解；(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．1．(1)(2012·天津高考)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R.若BQ·CP＝－2，则λ＝()A.13B.23C.43D．2解析：由题意可知BQ＝AQ－AB＝(1－λ)AC－AB，CP＝AP－AC＝λAB－AC，且AB·AC＝0，故BQ·CP＝－(1－λ)AC2－λAB2＝－2.又|AB|＝1，|AC|＝2，代入上式解得λ＝23.答案:B(2)(2011·江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22.又因为e1，e2为单位向量，夹角为π3，所以b1·b2＝3－2×12－8＝3－1－8＝－6.答案：－6两平面向量的夹角与垂直[例2](1)(2012·福州质检)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，a＋b＋c＝0，则a与c的夹角为()A．150°B．90°C．60°D．30°(2)(2011·新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.[自主解答](1)∵a·b＝1×2×cos120°＝－1，c＝－a－b，∴a·c＝a·(－a－b)＝－a·a－a·b＝－1＋1＝0，∴a⊥c.∴a与c的夹角为90°.(2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.∴k－1＋ka·b－a·b＝0.即k－1＋kcosθ－cosθ＝0(θ为a与b的夹角)．∴(k－1)(1＋cosθ)＝0.又a与b不共线，∴cosθ≠－1.∴k＝1.[答案](1)B(2)1解：设|a|＝m(m0)，a，b的夹角为θ，由题设知(a＋b)2＝c2，即2m2＋2m2cosθ＝m2，得cosθ＝－12.又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a，b的夹角为120°.若本例(1)条件变为非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，试求a与b的夹角．1．求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．2．(1)若a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．(2)(2012·豫南九校联考)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则“m＝1”是“(a－mb)⊥a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)∵a与a＋λb的夹角为锐角，∴a·(a＋λb)＞0，即3λ＋5＞0，∴λ＞－53.当a与a＋λb共线时，a＋λb＝ma，即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，∴1＋λ＝m，2＋λ＝2m，解得λ＝0.即当λ＝0时，a与a＋λb共线且方向相同，∴λ≠0，即λ＞－53且λ≠0.(2)由(a－mb)⊥a⇔a·(a－mb)＝0⇔|a|2－ma·b＝0⇔1－m×1×2cos60°＝0⇔m＝1.∴m＝1是(a－mb)⊥a的充要条件．答案：(1)－53，0∪(0，＋∞)(2)C平面向量的模[例3](2012·洛阳统考)已知P为锐角三角形ABC的AB边上一点，A＝60°，AC＝4，|PA＋3PC|的最小值为()A．43B．47C．6D．63[自主解答]因为PC＝AC－AP，所以|PA＋3PC|2＝|3AC－4AP|2＝9AC2－24AP·AC＋16AP2.设|AP|＝x，则|PA＋3PC|2＝16×9－48x＋16x2＝16(x2－3x＋9)．因为三角形ABC是锐角三角形，所以0x8，则当x＝32时，|PA＋3PC|2取得最小值为16×322－3×32＋9＝108，故|PA＋3PC|的最小值为108＝63.[答案]D利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2＝a2＝a·a；(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)则|a|＝x2＋y2.3．(1)已知向量a，b满足：|a|＝2，|b|＝3，|a－2b|＝5，则|a＋2b|＝()A.55B．7C.15D．25(2)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：(1)∵|a－2b|＝5，∴a2＋4b2－4a·b＝25，∵|a|＝2，|b|＝3，∴4a·b＝15，∴|a＋2b|＝a＋2b2＝a2＋4b2＋4a·b＝4＋36＋15＝55.(2)由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4α·β＋|β|2＝4＋2＋4＝10.答案：(1)A(2)10平面向量数量积的综合应用[例4](2013·太原模拟)已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－3sin2x)，b＝(cosx,1)(x∈R)．(1)求f(x)的周期和单调递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，AB·AC＝3，求边长b和c的值(bc)．[自主解答](1)由题意知，f(x)＝2cos2x－3sin2x＝1＋cos2x－3sin2x＝1＋2cos2x＋π3，∴f(x)的最小正周期T＝π，∵y＝cosx在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，∴令2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π，得kπ－π6≤x≤kπ＋π3.∴f(x)的单调递减区间kπ－π6，kπ＋π3，k∈Z.(2)∵f(A)＝1＋2cos2A＋π3＝－1，∴cos2A＋π3＝－1.又π32A＋π37π3，∴2A＋π3＝π.∴A＝π3.∵AB·AC＝3，即bc＝6，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc,7＝(b＋c)2－18，b＋c＝5，又bc，∴b＝3，c＝2.向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问