等比数列前n项和第一课时课件-数学-高一必修5第二章数列2.5人教A版

第二章数列2.5等比数列的前n项和1.理解等比数列前n项和公式的推导方法和过程.2.掌握等比数列前n项和公式及其性质的运用.（重点）3.能够运用错位相减法对数列求和.（难点）国际象棋盘内麦子数“爆炸”传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴，他决定要重赏西塔，西塔说：“我不要您的重赏，陛下，只要您在我的棋盘上赏一些麦子就行了.在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放满第64个格子就行了.”“区区小事，几粒麦子，这有何难，来人！”，国王令人如数付给西塔.计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒，第三格内放4粒，……,还没有到第二十格，一袋麦子已经空了.一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑现不了他对西塔的诺言.如何求呢？请进入本节课的学习！思考1每个格子里的麦粒数依次组成一个什么样的数列？是等比数列吗？提示：每个格子里的麦粒数依次组成因为此数列后一项与前一项的比值为2，所以此数列是等比数列.2345631,2,2,2,22,2，…，我们来研究新课导入中的问题：探究点等比数列前n项和公式思考2请同学们思考一下，故事中发明家要求的麦粒总数如何求解？提示：发明家要求的麦粒总数就是上述数列的前64项的和，即：2346312222+2…由23626364122222.S①得63646422481622.S②②－①，得646421S这种求和方法称为“错位相减法”，“错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法．由等比数列的定义，32121,nnaaaqaaa231121,nnnnnaaaSaqaaaSa11(1).nnnnnSaqqSaaqSa即11(1)1,.11,.nnnaqqSqqSna当时当时思考3请同学们自由讨论，自己试着推导一下等比数列前n项和公式？证法一：根据比例的性质，设等比数列123,,,,,naaaa123nnSaaaa它的前n项和是由11231nnnnSaaaaaaq及得22111111.nnnSaaqaqaqaq⑴⑴×q,得22111111.nnnnqSaqaqaqaqaq⑵证法二：错位相减法⑴－⑵，得111,nnqSaaq所以当q≠1时，11111nnnnaqaaqSSqq或显然，当q=1时，1nSna等比数列的前n项和公式na1na1n1a1q1q1naaq1q思考4根据前面推导的等比数列的前n项和公式，计算一下麦粒的总数是多少呢？64641(1)1(12)21112nnaqSq解：所以，超过了1.84,假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总重量超过了7000亿吨，铺在地球表面厚度可达9毫米厚.所以国王是不可能满足发明者的要求的.64211910例1.“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.怎样用学过的知识来说明它？解：这句古话用现代文叙述是：一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完.如果将每天取出的木棒长度排成一个数列，则得到一个首项，公比的等比数列，它的前n项和为不论n为何值，总大于0，这说明一尺长的木棒按上述方法永远也取不完.112a12q111()1221()121.2nnnSnn11S()2例2.等比数列的公比求前8项的和.解：因为所以781,aaq78172.aaqna8112，，qa8S因此788818121()(1)221255.1112aqSq小结：等比数列的前n项和公式及通项公式涉及到5个量：已知其中3个量就可以求出另外的2个量.1nna,q,n,a,S,【提升总结】等比数列前n项和“知三求二”问题Sn＝a1－anq1－q，Sn＝a11－qn1－q(q≠1)均为等比数列的求和公式，一共涉及a1，an，Sn，n，q五个量，通常已知其中三个，可求另外两个，而且方法就是解方程组，这也是求解等比数列问题的基本方法．例3求和：9+99+999+…+解：原式=（10-1）+（102-1）+…+（10n-1）=(10+102+…+10n)-n10(101)101nn10(101).9nn分析：数列9，99，999，…不是等比数列，不能用公式求和，但将它转化成10-1，100-1，1000-1，…就容易解决了..n个9999…99解：该工厂去年2月份的产值为a(1+p)元，3月，4月……的产值分别为a(1+p)2,a(1+p)3,……去年12个月的产值组成以a为首项，（1+p）为公比的等比数列，因此，该厂去年全年的总产值为答：该工厂去年全年的总产值为元.121212a1-(1+p)a(1+p)-1S==.1-(1+p)p12a(1+p)-1p例4某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长率为p（p0）,求这个工厂去年全年产值的总和.例5.的前n项和为.n13572n1248162，，，，…，【探究提示】分子是首项为1,公差为2的等差数列,分母是首项为2,公比为2的等比数列.【解】设两式相减得：所以答案：n13572n1S248162n…，nn1113572n1S,24816322…nnn1n1n1n1n1n111222222n1S22481632221111112n1()2248162211[1()]12n132n322,1222212……nn2n3S3.2n2n332【方法技巧】1.错位相减法的使用范围及注意事项(1)适用范围：主要适用于{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前n项和.(2)注意事项：①利用“错位相减法”时,在写出Sn与qSn的表达式时,应注意使两式对齐,以便于作差,正确写出(1-q)Sn的表达式;②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1.2.错位相减法进行求和的基本步骤(1)在等式Sn=a1+a2+a3+…+an两边同乘以等比数列的公比q.(2)两式相减：左边为(1-q)Sn,右边为q的同次式对齐相减.(3)右边去掉最后一项(有时需要去掉第一项)剩下的各项组成等比数列,可以采用公式求和.例6.(1)已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.(2)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．【思路探究】(1)列出关于a1，q的方程组能求解吗？S10，S20－S10，S30－S20是否成等比数列？用这一性质能解决吗？(2)“奇数项之和”、“偶数项之和”的含义是什么？你能使用等比数列前n项和的性质求解吗？【解析】(1)法一设数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1，则a11－q101－q＝10，a11－q201－q＝30.两式相除得1＋q10＝3，∴q10＝2.∴S30＝a11－q301－q＝a11－q101－q(1＋q10＋q20)＝10×(1＋2＋4)＝70.法二∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，又∵S10＝10，S20＝30，∴S30－30＝30－10210，即S30＝70.(2)法一设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*)．由已知a1＝1，q≠1，有1－q2n1－q2＝85，①q1－q2n1－q2＝170.②由②÷①，得q＝2，∴1－4n1－4＝85,4n＝256，∴n＝4.故公比为2，项数为8.法二∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q，∴q＝S偶S奇＝17085＝2.又Sn＝85＋170＝255，据Sn＝a11－qn1－q，得1－2n1－2＝255，∴2n＝256，∴n＝8.故公比q＝2，项数n＝8.1．解决本例有两种思路：用等比数列的前n项和公式直接求解，属通性通法；用性质求解，方法灵活，技巧性强，有时使计算简便．2．等比数列前n项和的常用性质(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝a1＋a2n＋1q1＋q(q≠1且q≠－1)．21nnSa32nnSa43nnSa32nnSaB.C.D.A.1.（2013·新课标全国卷Ⅰ）设首项为1，公比为的等比数列｛an｝的前n项和为Sn，则（）2312132113nnnaaaqSq32nnSa解析：选D.因为等比数列的首项为1，公比为所以即232.三个正数a,b,c成等比数列，且三个正数满足a+b+c=62,lga+lgb+lgc=3,则这三个正数为________________________.2，10，50或50，10，23.（2013·江西高考）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于________.4.（2013·北京高考）若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q=；前n项和Sn=__________.62122n1.注意等比数列的前n项和公式分和两种情况.2.学会等比数列的前n项和公式的推导过程（两种方法）.3.错位相减法的使用范围及注意事项1q1q当q≠1时，n1na1-qS=1-q或1nna-aqS=1-q当q=1时，1nSna