等差数列第一课时课件-数学高一必修5第二章数列2.2人教A版

第二章数列2.2等差数列1.理解等差数列的概念.（重点）2.了解等差数列的项与序号之间的规律.3.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用.（难点）4.理解等差数列的性质.（重点）得到数列：6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000.你发现这个数列有什么特点？请进入本节的学习！请看下面的一些数列：鞋的尺码，按照国家统一规定，有22,22.5,23,23.5,24,24.5,…；①某月星期日的日期为2,9,16,23,30；②一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度（单位：cm)为89,83,77,71,65,59,53,47.③探究点1：等差数列定义思考：上面几个数列有什么共同的特点？提示：对于数列①，从第2项起每一项与前一项的差都等于0.5；对于数列②，从第2项起每一项与前一项的差都等于7；对于数列③，从第2项起每一项与前一项的差都等于-6.这就是说，这些数列具有这样的共同特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.例1.已知数列{an}的通项公式为an=3n-5,这个数列是等差数列吗?解:因为当n≥2时,an-an-1=3n-5-[3(n-1)-5]=3,所以数列{an}是等差数列,且公差为3.思考1：当公差d=0时，{an}是什么数列？提示：仍是等差数列.思考2：将有穷等差数列{an}的所有项倒序排列，所成数列仍是等差数列吗？如果是，公差是什么？如果不是，请说明理由.提示：是等差数列,公差与原数列的公差互为相反数.思考3：如果说“一个数列从第2项起,相邻两项的差是同一个常数”,那么这个数列是等差数列吗?提示：这个数列不一定是等差数列,等差数列中的“差”是有顺序的,必须是“从第2项起,每一项与前一项的差”.而“相邻两项的差”,这里的“相邻”可能是后一项减去前一项,也可能是前一项减去后一项,如数列2,1,2,3,4,5相邻两项的差是同一个常数1,但此数列不是等差数列.思考：如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d，那么它的通项公式是怎样的？12132432132114311,-,-,-,.+,2,23,naadaadaadaadaadaadaddadaadaddad　　　　如果等差数列的首项是公差是，那么根据等差数列的定义得到　　　　因此探究点2：等差数列通项公式an=a1+(n-1)d.由此归纳出等差数列的通项公式为这个公式还可以用下面的方法得到.由等差数列的定义得a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,……an-1-an-2=d,an-an-1=d.将这n-1个式子的等号两边分别相加，得an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d.这种用叠加求通项公式的方法叫做叠加法.等差数列通项公式的关注点(1)已知等差数列的首项和公差可以求得这个数列的任何一项.(2)在等差数列中，已知四个量中的三个可以求得另一个.【提升总结】2.10,7,4,:1102-40-56例已知等差数列试求此数列的第项；是不是这个数列的项？是不是这个数列的项？如果是，是第几项？n1n101此列a，由a=10,d=7-10=-3,得到列的通公式a=10-3n-1.n=解：10，a=10-310-1=-17.设数为这个数项为当时这个数项则数这个2如果-40是列的，方程-40＝10-3n-153有正整解.解方程，得n=.3这个数项所以-40不是列的.这个数项则数这个这个数项如果-56是列的，方程-56=10-3n-1有正整解.解方程，得n=23,因此-56是列的第23.思考：如果三个数x,A,y组成等差数列，那么A，x,y满足怎样的关系？提示：如果x,A,y组成等差数列，根据等差数列的定义，应有：A-x=y-A，即2A=x+y化简整理得：由此，我们可以得到等差中项的定义：如果三个数x,A,y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项.x+yA＝2探究点3：等差中项x+y如果A是x和y的等差中项，则A=.2(1)在直角坐标系中，画出通项公式为an=3n-5的数列的图象，这个图象有什么特点？(2)在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列an=an+b与一次函数y=ax+b的图象之间有什么关系.探究点4等差数列的函数实质⑴n为正整数，当n取1，2，3，…时，对应的an可以利用通项公式求出.经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；(如右图)⑵画出函数y=3x-5的图象后发现数列的图象（点）在直线上（如右图），数列的图象是该一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合.综上可以看出等差数列an=an+b的图象是一次函数y=ax+b的图象的一个子集，是y=ax+b定义在正整数集上对应的点的集合.这样我们得到了这样的结论：如果数列{an}是等差数列，则an=an+b（a,b是常数），从图象上看，表示这个数列的各点均在一次函数y=ax+b上，当a=0时，各点均在直线y=b上.例3.已知等差数列{an}的首项a1=17,公差d=-0.6,此等差数列从第几项开始出现负数?nnn由意,{a}的通公式a=17-0.6n-1.88令17-0.6n-10,解得n29.3.3又因{a}是列,所以此列第30始出.解:题项为≈为递减数数从项开现负数32415546371,3,57,9,1113,537,19.,9711,513.在等差数列，，中记为是记为和记为的等差中项也是记为和记为的等差中项同理记为是和的等差中项也是记为和的等差中项aaaaaaaaaa记为记为记为探究点5：等差数列的性质前面学习了等差中项的概念，我们知道：32415546372.,;2aaaaaaaaaa看来思考：从中你发现了有关等差数列的怎样的一般规律？请注意它们的下标(,,:,,,.,N)22pmnmnpqmnpmnpqmnpqaaaamnpaaaaaa可得在一等差数列中若则特别地当时也即是和的等差中项有以上性质可描述为：等差数列中，下标和相等的任意两项，它们的和也相等.容易看出，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；反之，如果一个数列从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项，那么这个数列是等差数列.即有：-11+22,Nnnnaaann≥或212nnnaaanN思考：常见的等差数列的性质还有哪些？提示：(1)在公差为d的等差数列{an}中，对于任意两项an,am,其中m,n∈N*且m≠n，则有an=am+(n-m)d或(2){an},{bn}均为等差数列，则{an±bn}也为等差数列.(3)若{kn}为等差数列，kn∈N*，{an}为等差数列,则也为等差数列.nmaad.nmnk{a}例4.已知等差数列的公差为d,第m项为am,试求其第n项an.解:由等差数列的通项公式可知an=a1+(n-1)d,am=a1+(m-1)d,两式相减,得an-am=(n-m)d.所以an=am+(n-m)d.例5.梯子共有5级,从上往下数第1级宽35厘米,第5级宽43厘米,且各级的宽度依次组成等差数列{an},求第2,3,4级的宽度.题数项1551234依意,a=35,a=43,由等差列的通公式,得公差a-a　　　　d==2,5-1因此,a=37,a=39,a解法1:=41.相当于已知线段两端点的坐标，求线段中点坐标数项项315153此等差列共5,a是a与a的等差中,a+a因此解法a==39.22:为项项,213435133524又因a是a与a的等差中,a是a与a的等差中a+aa+a所以,a==37,a==41.22因此级宽别为梯子第2,3,4的度分37cm,39cm,41cm.思考：我们怎样来判断或证明一个数列是等差数列？1.定义法利用定义看是不是一个与n无关的常数.11(2)nnnnaanaa≥或者探究点5：等差数列的证明-11+22,Nnnnaaann≥或212nnnaaanN2.等差中项法探讨：从等差数列的通项公式，an=a1+(n-1)d可以看出：当公差d=0时，该数列是常数列（即常数列是公差为0的等差数列）；当公差不为0时，an是关于n的一次函数.设数列{an}的通项公式为an=an+b(a,b是常数）因为an-an-1=(an+b)-[a(n-1)+b]=a(n≥2），所以数列{an}是以a+b为首项，以a为公差的等差数列.nnaanb(a0,a,b)a是常数为等差数列3.通项公式法如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次函数，那么这个数列必定是等差数列.判断一个数列是否为等差数列，可以用以上三种方法，但证明一个数列是等差数列，只能用方法1和方法2.B3.等差数列{an}的前三项依次为a-6，-3a-5，-10a-1，则a等于（）A.1B.-1C.D.31115A4.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=____.提示：由已知可得d=an+1-an=-4，从而求出数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)×(-4)=-4n+5,所以a10=-4×10+5=-35.5.（2013·广东高考）在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=_____.解:设公差为d,则a3+a8=2a1+9d=10,3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.20.47139126.,110,19,;29,3,.naaaadaaa在等差数列中已知求与已知求111a+3d=10,1由意得:a+6d=19,a=1,解之得:d=3.解:题111n12a+2d=9,2由意可得:a+8d=3.a=11,解之得d=-1.所以列的通公式a=11+n-1×-1=12-n.所以a=0.题该数项为7.已知数列{an}满足a1=4，记判断数列{bn}是否是等差数列，并说明理由.).1(441naann21nnab解:n+1nn+1nnnnnnnn1111由b-b=-=-4a-2a-2a-2(4-)-2aaa-211=-==2(a-2)a-22(a-2)221所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列.2111111ba24221.等差数列的概念:从第2项起,后一项减去前一项的差是同一常数；2.等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d,知道其中三个字母变量,可用列方程的方法,求余下的一个变量；3.等差数列的通项公式an的推导方法及简单应用;4.等差数列中项的定义.,,,N2,,2.mnpqmnPPmnmnpqmnpqaaaaamnpaaaaa，：,有6.等差数列的性质若则特别地当时即是和的等差中项5.等差数列通项公式和一次函数的关系；7.判断或证明等差数列的方法.