【成才之路】2015-2016学年高中数学-第2章-6正态分布课件-北师大版选修2-3

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修2-3概率第二章§6正态分布第二章课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1课前自主预习通过实际问题，借助直观(如实际问题的直方图)，认识正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义．本节重点：正态分布密度曲线的特点．本节难点：正态分布中参数μ、σ2和正态分布密度曲线及其性质的关系.1.函数f(x)＝1σ2πe－x－μ22σ2，x∈(－∞，＋∞)的图像称为正态分布密度曲线，简称__________．正态分布完全由参数μ和σ确定，常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，记作______________，则X的均值EX＝_____，方差DX＝__________．正态曲线X～N(μ，σ2)μσ2(σ0)2．正态曲线的性质(1)曲线在x轴上方，与x轴不相交．(2)曲线关于直线_____对称．(3)当x＝μ时曲线处于峰值1σ2π(4)曲线与x轴之间的面积是1.3．若X～N(μ，σ2)，则有P(μ－σXμ＋σ)＝_____，P(μ－2σXμ＋2σ)＝_____，P(μ－3σXμ＋3σ)＝_____.x＝μ0.6830.9540.9971.正态曲线是利用高尔顿板试验得到的，当试验次数越多，也就是放入小球的个数越多，实验就越接近正态曲线，正态密度曲线的特性可概括为：中间高，两头低，左右对称．2．正态分布由参数μ、σ唯一确定，如果随机变量X～N(μ，σ2)，根据定义有：μ＝E(X)，σ＝D(X)．3．标准正态曲线标准正态曲线N(0,1)是一种特殊的正态分布曲线，关于它已专门制作了“标准正态分布表”．对于抽象函数Φ(x0)＝p(xx0)，课本中没有给出具体的表达式，但其几何意义非常明显，即由正态曲线N(0,1)、x轴、直线x＝x0所围成的图形的面积．再由N(0,1)的曲线关于y轴对称，可以得出等式Φ(－x0)＝1－Φ(x0)，以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率P＝Φ(b)－Φ(a)．4．判断一个变量是否服从正态分布判断一个变量是不是服从正态分布，就是看是否为随机变量，并且是否符合正态分布的定义及条件．一个随机变量如果是众多的，互不相干的，不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布，在高尔顿板试验中，小球到达底部的坐标X是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．尽管我们是利用高尔顿板试验近似地得到正态曲线，进而得到正态分布．但正态分布是客观存在的规律，这一试验只是验证了这一问题．而且当试验的次数越多，也就是放入的小球的个数越多，试验就越接近正态曲线．5．根据正态分布检验一类事件发生与否如某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4,0.52)，质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7cm，判断该厂生产这批零件是否合格．解决此类问题可以用假设检验的思想方法来解决，其基本步骤可分为三步：一是提出统计假设，假设变量服从正态分布N(μ，σ2)．二是确定一次试验中的取值a是否落入范围(μ－3σ，μ＋3σ)．三是作出判断，如果a∈(μ－3σ，μ＋3σ)，则接受统计假设，如果a∉(μ－3σ，μ＋3σ)则拒绝统计假设．要注意小概率事件原理是假设检验的基础．运用小概率事件原理时须注意：①这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的；②运用“小概率事件原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能．X服从正态分布N(4，0.52)，由正态分布性质可知，正态分布N(4,0.52)在(4－3×0.5,4＋3×0.5)之外的取值概率只有0.003，而5.7∉(2.5,5.5)．这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此认为这批零件不合格．6．若X是一个服从正态分布的随机变量，则对任意的常数a0及b，随机变量aX＋b也服从正态分布．7．一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体N(μ，σ2)其图像不一定关于y轴对称，所以，研究其在某个区间(x1，x2)的概率时，无法利用标准正态分布表进行计算．这时我们自然会思考：能否将一般的正态总体N(μ，σ2)转化成标准的正态总体N(0,1)进行研究．人们经过探究发现：对于任一正态总体N(μ，σ2)，其取值小于x的概率F(x)＝Φ(x－μσ)．对于这个公式来由不作要求，只要会用它求正态总体N(μ，σ2)在某个特定区间的概率即可.1.下列函数是正态曲线的是()A．f(x)＝12πσex－μ22σ2、μ、σ(σ0)都是实数B．f(x)＝2π2πe－x22C．f(x)＝122πe－x－σ4D．f(x)＝12πex22[答案]B[解析]要抓住正态密度函数的特征．A中的函数值不是随着x的增大而无限接近于零；C中的函数无对称轴；D中的函数图像在x轴下方．所以选B.2．若随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ≤c)＝P(ξc)，则c的值为()A．0B．μC．－μD．σ[答案]B[解析]由正态分布密度曲线的性质知：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，其概率为图像与x轴以及垂直于x轴的直线所围成的图形的面积，则有c＝μ.3．(2014·哈师大附中高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N(1,4)，则P(－3ξ5)＝()(参考数据：P(μ－σξμ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σξμ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σξμ＋3σ)＝0.9974)A．0.6826B．0.9544C．0.0026D．0.9974[答案]B[解析]由ξ～N(1,4)知，μ＝1，σ＝2，∴μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝5，∴P(－3ξ5)＝P(μ－2σξμ＋2σ)＝0.9544，故选B.4．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ3)＝________.[答案]12[解析]由正态分布图像知，μ＝3为该图像的对称轴，P(ξ3)＝P(ξ3)＝12.5．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．[答案]1[解析]正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，所以正态分布的数学期望是1.课堂典例探究把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法中不正确的是()A．曲线C2仍然是正态曲线B．曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2正态曲线定义、性质的应用[解析]正态曲线沿着横轴方向水平移动只改变对称轴位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线．在正态曲线沿着横轴方向水平移动的过程中，σ始终保持不变，所以曲线的最高点的纵坐标即正态密度函数的最大值12πσ不变，方差σ2，也没有变化．设曲线C1的对称轴为x＝μ，那么曲线C2的对称轴则为x＝μ＋2，说明均值从μ变到了μ＋2，增大了2.[答案]D[反思总结]利用正态曲线的性质可以求参数μ、σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π，由此性质结合图象可求σ.(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦．以下是关于正态密度曲线性质的叙述：(1)曲线关于直线x＝μ对称，这个曲线在x轴的上方(2)曲线关于直线x＝σ对称(3)曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数(4)曲线在x＝μ时处于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低(5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定(6)σ越大，曲线越尖陡，σ越小，曲线越扁平其中说法正确的有________．[答案](1)(4)(5)[解析]直接根据正态密度曲线的性质作出判断．(2)(3)(6)不符合上述性质，故均错.正态曲线在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ0)，若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．[解析]如图所示，易得P(0X1)＝P(1X2)，故P(0X2)＝2P(0X1)＝2×0.4＝0.8.[答案]0.8[反思总结]正确理解正态曲线的图像及性质，正态曲线函数的系数是12πσ，指数是－x－μ22σ2，要记准结构，正确使用．下图中分别是甲、乙、丙三种品牌石英钟时间误差分布的正态密度曲线，则下列说法不正确的是()A．三种品牌的石英钟时间误差的均值相等B．时间误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙C．时间误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙D．三种品牌的石英钟中甲品牌的质量最好[答案]B[解析]正态曲线中的参数μ、σ分别表示随机变量的均值和标准差．由图像可知甲、乙、丙三种曲线的对称轴相同，故它们的时间误差的均值相等，A正确，B错误；再根据图像的扁平与尖陡情况可以判断它们的标准差从小到大依次为甲、乙、丙，这也说明甲品牌偏离于均值的离散程度较小，所以甲品牌的质量最好，故C、D正确.正态变量在三个常用区间上的概率的应用某年级的一次数学测验成绩近似服从参数为μ＝70和σ2＝102的正态分布，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占全班人数的百分比是多少？(2)成绩在80～90分内的学生的人数占全班人数的百分比是多少？[分析]正态曲线关于直线x＝μ对称，故可利用对称性和特殊值求解．[解析](1)设学生的得分为随机变量X，则X～N(70,102)，其中μ＝70分，σ＝10分．学生的得分在(60,80)内的概率为P(70－10X70＋10)＝0.683，所以不及格的人数占全班人数的百分比为12×(1－0.683)＝15.85%.(2)P(70－20X70＋20)＝0.954，成绩在80～90分内的学生的人数占全班人数的百分比为12[P(50X90)－P(60X80)]＝13.55%.[反思总结]本题考查正态分布的性质，考查分析和解决问题的能力．利用正态曲线的性质求概率，应注意对称性的应用．正态曲线关于直线x＝μ对称，呈现“中间高，两边低”的形状．有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布，即X～N(20,4)．若这批零件共有5000个．试求：(1)这批零件中尺寸在18mm～22mm间的零件所占的百分比．(2)若规定尺寸在24mm～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？[分析]解答此题需先确定μ、σ以及所给区间与μ、σ之间的关系．[解析](1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2.∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22.于是零件尺寸X在18mm～22mm间的零件所占百分比大约是68.3%.(2)∵μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴零件尺寸X在14mm～26mm间的百分比大约是99.7%，而零件尺寸在16mm～24mm间的百分比大约是95.4%.∴零件尺寸在24mm～26mm间的百分比大约是99.7%－95.4%2＝2.15%.因此尺寸在24mm～26mm间的大约有5000×2.15%≈108(个)．[反思总结]本题考查正态总体的三个特殊区间内取值的概率值：P(μ－σXμ＋σ)＝0.683，P(μ－2σXμ＋2σ)＝0.954，P(μ－3σXμ＋3σ)＝0.997.在实际应用题中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称为3σ原则．正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内的，而在此区间以外取值的概率只有0.003，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，这是统计中常用的假设检验方法的基本思想.正态分布的综合应用一个工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N(4