搜索
成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修2-3计数原理第一章§2排列第一章课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1课前自主预习1.通过实例，理解排列的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式，并能解决简单的实际问题．本节重点：排列、排列数公式．本节难点：排列数的应用.1.排列定义：一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作__________________________________________．我们把有关求排列的个数问题叫作_________．2．排列定义包括两个基本内容：一是“________”，二是“_________________”．只有元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同时，才是同一个排列．元素完全相同，顺序不一样；或者元素部分相同，顺序一样都是不同的排列．从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列排列问题取出元素按照一定顺序排列3．排列数定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从_________________________________，用符号_______表示．4．排列数概念可以从集合的角度进行解释．例如：从a、b、c这三个不同的元素中任取两个元素的排列数，就是集合A＝{ab，bc，ca，ba，cb，ac}的元素个数，显然card(A)＝6.这里，由排列的定义知，集合A中的元素ab与ba应视为不同的元素．n个不同元素中取出m个元素的排列数Amn5．排列数公式(1)连乘表示式：Amn＝________________________，其中n、m∈N＋，且m≤n；(2)阶乘表示式：Amn＝n！n－m！，其中n、m∈N＋，且m≤n.6．阶乘：n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用_______表示，即Ann＝______________________________＝____，特别规定0！＝1.n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1n！7．排列数性质：(1)Amn＝_______；(2)Amn＝______________.性质(1)是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，排在m个位置上，分两步完成：第一步从n个元素中选出1个排在一个位置上，第二步从余下的n－1个元素中选出m－1个元素排在余下的m－1个位置上．性质(2)是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，不分步，用分类的方法解决．可分两类：一是m个元素中含有a，二是m个元素中不含有a.nAm－1n－1mAm－1n－1＋Amn－11.判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列．也就是说，排列问题与元素的顺序有关，与顺序无关的不是排列．如取出两个数做乘法就与顺序无关，就不是排列.2．定义中规定m≤n，如果mn，则称为选排列．如果m＝n，则称为全排列．3．要分清“排列”和“排列数”这两个不同的概念：一个排列是指从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列的一种具体排法，它不是数；而排列数是指从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的种数，它是一个数．4．排列数公式的应用(1)排列数的第一个公式Amn＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式；在运用该公式时要注意它的特点．(2)排列数的第二个公式Amn＝n！n－m！，适用于与排列数有关的证明、解不等式等，在具体运用时，则应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n且m、n∈N＋”的运用．5．解答排列应用题时，要注意以下几点：①仔细审题，明确题意，明确题目中的事件是什么，可以通过什么样的程序来完成这个事件，进而选用相应的模型计算，不能乱套公式，盲目计算．②明确问题的限制条件，注意特殊元素和特殊位置，必要时可画出框图或树形图帮助思考．③由于排列应用题中的各种情况比较复杂，单纯利用排列知识不能解决问题，应结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理来分析，合理地进行分类或分步，通过讨论来解决问题．④对于有限制条件的较为复杂的问题，通常有正向思考和逆向思考两种思路．正向思考时，要设法将较复杂的问题进行分解后直接求解．逆向思考时，先求不带限制条件的所有情况，再减去不符合限制条件的情况，也就是间接求解．另外，分析排列情况时，要防止重复和遗漏.1.甲、乙、丙、丁、戊五名学生排一列，甲必须排在乙的前面(可以不相邻)的排法共有()A．A44种B．4A44种C．A44＋5A33种D．12A55种[答案]D[解析]进行全排列共A55种，其中甲要么在乙前面，要么在乙后面，且排法种数相等，故甲排在乙前面的排法有12A55种．2．A＝n！3！(n3)，则A是()A．A33B．Ann－3C．A3nD．An－3n[答案]D[解析]An－3n＝n·(n－1)·(n－2)…4＝n！3！.3．有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，则送法共有()A．5种B．3种C．60种D．15种[答案]C[解析]从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学的一种送法，对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列，因此，共有送法A35＝60种．4．从5名同学中选出正、副组长各1名，有________种不同的选法(用数字作答)．[答案]20[解析]从5名同学中选出正、副组长各1名，即从5个元素中选出2个元素进行排列，不同的选法种数为A25＝5×4＝20.5．(2014·北京理，13)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．[答案]36[解析]先只考虑A与产品B相邻，此时用捆绑法，将A和B作为一个元素考虑，共有A44＝24种方法，而A和B有2种摆放顺序，故总计24×2＝48种方法，再排除既满足A和B相邻，又满足A与C相邻的情况，此时用捆绑法，将A，B，C作为一个元素考虑，共有A33＝6种方法，而A，B，C有2种可能的摆放顺序，故总计6×2＝12种方法．综上，符合题意的摆放共有48－12＝36种．课堂典例探究排列数公式的计算(1)计算A313－A66A35.(2)n∈N＋且n30，求(30－n)(31－n)…(43－n)(44－n)的值．[分析]利用各排列数的关系，先化简再求值．[解析](1)原式＝16×15×14－6×5×4×3×2×15×4×3＝4×14－12＝44(2)n∈N＋且n30那么(30－n)(31－n)…(43－n)(44－n)＝A1544－n.[反思总结](2)中注意排列数的逆用，找到最大整数为(44－n)共有15个连续整数相乘．(1)计算：2A58＋7A48A88－A59；(2)求证：Amn＋1＝mAm－1n＋Amn.[分析]本题主要考查排列公式．(1)由排列数公式展开即可解决；(2)用公式Amn＝n！n－m！可以证明．[解析](1)2A58＋7A48A88－A59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝8×7×6×5×8＋78×7×6×5×24－9＝1.(2)证明：证法一：∵Amn＋1－Amn＝n＋1！n＋1－m！－n！n－m！＝n！n－m！·(n＋1n＋1－m－1)＝n！n－m！·mn＋1－m＝m·n！n＋1－m！＝mAm－1n，∴Amn＋1＝mAm－1n＋Amn.证法二：Amn＋1表示从n＋1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含某元素a1的有Amn个，含有a1的可这样进行排列：先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m－1个元素在剩下的m－1个位置上，有Am－1n种排法，故含有a1的排法有mAm－1n种．∴Amn＋1＝mAm－1n＋Amn.[反思总结]正确运用排列数公式是解决本题的关键．(2)题证法二是充分利用排列的定义及对某一特定元素的正确处理来解决的，解法新颖独到.无限制条件的排列问题(1)写出从4个不同元素a、b、c、d中任取3个元素的所有排列，并指出有多少种不同的排列．(2)6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，问有多少种不同的排法？[分析]直接依据排列的定义，用枚举法等解无约束条件的排列问题，用排列数公式(或分步计数法)计算不同的排列数．[解析](1)abc，acb，bca，bac，cab，cba，abd，adb，bad，bda，dab，dba，acd，adc，cad，cda，dac，dca，bcd，bdc，cbd，cdb，dbc，dcb，共有A34＝4×3×2＝24种．(2)本题实际上和6个人站成一排照相共有多少种不同排法的问题完全相同，所以不同的排法总数为A66＝720种．[反思总结]只有当元素完全相同，并且排列顺序也完全相同时，才是同一排列．元素完全不同，或元素部分相同，或元素完全相同而顺序不同的排列都不是同一排列．(1)有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招一名新员工，且3名大学生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案(用数字作答)；(2)(2015·广东理，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)[分析]无限制条件的排列问题，只要分清m个元素和n(m≤n)个不同的元素各是什么，一个排列对应的是完成什么事即可．[答案](1)60(2)1560[解析](1)将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有A35＝60种．(2)同学两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1560条毕业留言．[反思总结]本题是无限制条件的排列应用题，直接由排列数公式计算即可，该类题型比较简单，要求写出解答的简要说明.特殊元素(或位置)优先法用0到9这10个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数？[解析]解法一：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有A39个；当个位上从“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有A14·A18·A28个，∴没有重复数字的四位偶数有A39＋A14·A18·A28＝2296个；解法二：当个位数上排“0”时，同解法一有A39个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”的排列数得：A14(A39－A28)个，∴没有重复数字的四位偶数有A39＋A14(A39－A28)＝2296个；解法三：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有A15A15A28个．千位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个(包括0在内)，百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有A14A14A28个，∴没有重复数字的四位偶数有A15A15A28＋A14A14A28＝2296个；解法四：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数，没有重复数字的四位数有A410－A310个，其中四位奇数有A15(A39－A28)个，∴没有重复数字的四位偶数有A410－A39－A15(A39－A28)＝2296个．[反思总结]对于有限制条件的排列问题，先考虑安排好特殊元素(或位置)，再安排一般的元素(或位置)，即先特殊后一般，此方法一般是直接分步法；或按特殊元素当选情况(或特殊位置由哪个元素占)分类，再安排一般的元素(或位置)，即先分类后分步，此方法一般是直接分类法；也可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列