【成才之路】2015-2016学年高中数学-第2章-2超几何分布课件-北师大版选修2-3

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修2-3概率第二章§2超几何分布第二章课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1课前自主预习通过实例(如彩票抽奖)，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．本节重点：超几何分布的分布列．本节难点：抽象出超几何分布模型，明确N、M、n的取值.一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N、M、n的超几何分布.1.超几何分布的另一种形式一批产品由a件次品、b件正品组成，若随机从中抽取n件(1≤n≤a＋b)，由超几何分布的定义可知，次品数X服从超几何分布．现在我们来推导X的一个跟a、b有关的分布列公式．由超几何分布的分布列可得：P(X＝r)＝CrMCn－rN－MCnN，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min{n，M}．①显然，本例中N＝a＋b，M＝a，N－M＝b.因此①式可改写为P(X＝r)＝CraCn－rbCna＋b，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min{n，M}．②这就是超几何分布的另一种表达形式，并被不少其他教材或辅导书所采用，故本书特将它单列于此，以供参考．同时，我们要认识到：从本质上看，分布列①②的表达内容是一致的，只是所描述的方向略有不同(一个考虑所有的产品和次品，一个考虑正品和次品)．2．超几何分布的注意点(1)超几何分布列给出了求解这类问题的方法，可以通过公式直接运用求解，但不能机械地去记忆公式，要在理解的前提下记忆；(2)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同m值时的概率P(X＝m)，从而列出X的分布列．3．当我们从某个有限集合中，按照不放回抽样的方法等可能地抽取若干个元素时，某类特定的元素(如次品、黑球、正奇数等)被抽到的个数便服从超几何分布，可利用这个结论来判断一个随机变量是否服从超几何分布．4．不服从超几何分布的不放回抽样的概率问题一般转化为古典概型求解．并非所有的不放回抽样都可视作超几何分布.1.在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为()A．N＝15，M＝7，n＝10B．N＝15，M＝10，n＝7C．N＝22，M＝10，n＝7D．N＝22，M＝7，n＝10[答案]A[解析]根据超几何分布概率模型知．2．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为()A.C480C610C10100B.C680C410C10100C.C480C620C10100D.C680C420C10100[答案]D[解析]若随机变量X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布．取到10个球中恰有6个红球，即X＝6，P(X＝6)＝C680C420C10100(注意袋中球的个数为80＋20＝100)．3．12人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛，若随机变量X表示参加竞赛的“三好学生”的人数，则C35C37C612为()A．P(X＝6)B．P(X＝5)C．P(X＝3)D．P(X＝7)[答案]C[解析]由题意可知随机变量X服从参数为N＝12，M＝5，n＝6的超几何分布，由公式P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN易知C35C37C612表示的是k＝X＝3的取值概率．4．已知某批产品共100件，其中二等品有20件．从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列：ξ＝k012P(ξ＝k)[答案]316495329919495[解析]ξ的可能取值为0,1,2，ξ服从参数为N＝100，M＝20，n＝2的超几何分布，则P(ξ＝0)＝C020C280C2100＝316495，P(ξ＝1)＝C120C180C2100＝3299，P(ξ＝2)＝C220C080C2100＝19495.5．口袋内装有10个大小相同的球，其中5个球标有数字0,5个球标有数字1，若从口袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________(用数字作答)．[答案]1363[解析]{ξ＝i}表示“摸出的5个球所标数字之和为i”(i＝0,1,2,3,4,5)，则P(ξ＝0)＝C55C510，P(ξ＝1)＝C45C15C510，P(ξ＝4)＝C15C45C510，P(ξ＝5)＝C55C510，故摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率为P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝2C55＋C15C45C510＝2×26252＝1363.课堂典例探究在一次购物活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张中任取2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的概率分布列．求超几何分布的分布列[分析]解答本题可先利用对立事件求出顾客中奖的概率，再分析X的所有可能取值，明确X取各个值的事件，利用组合及公式P＝mn进行计算求解．[解析](1)P＝1－C04C26C210＝1－1545＝23，即顾客中奖的概率为23.(2)X的所有可能值为0,10,20,50,60.P(X＝0)＝C04C26C210＝13，P(X＝10)＝C13C16C210＝25，P(X＝20)＝C23C210＝115，P(X＝50)＝C11C16C210＝215，P(X＝60)＝C11C13C210＝115，故X的分布列为：X010205060P1325115215115[反思总结]本题以超几何分布为背景，主要考查了概率的计算，离散型随机变量的分布列的求法及解决实际问题的能力．设10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，求抽得二等品件数X的分布列．[分析]由题意易知X服从超几何分布，且N＝10，M＝3，n＝5，利用超几何分布的分布列易求随机变量的取值概率．[解析]X的可能取值为0,1,2,3.{X＝0}表示“抽取的5件工艺品全是一等品”，P(X＝0)＝C03C57C510＝21252＝112；{X＝1}表示“抽取的5件工艺品中有1件二等品，4件一等品”，P(X＝1)＝C13C47C510＝105252＝512；{X＝2}表示“抽取的5件工艺品中有2件二等品，3件一等品”，P(X＝2)＝C23C37C510＝105252＝512；{X＝3}表示“抽取的5件工艺品中有3件二等品，2件一等品”，P(X＝3)＝C23C27C510＝21252＝112.所以X的分布列为X0123P112512512112超几何分布的应用某中学统计了该校100名学生在放假期间参加社会实践活动(简称活动)的情况：有20人参加1次活动，有50人参加2次活动，有30人参加3次活动．(1)从这些学生中任选两名，求恰好有一名参加1次活动的概率；(2)从这些学生中任选两名，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列．[解析](1)由题意知若设X为任选两名学生中参加1次活动的人数，则X服从参数为N＝100，M＝20，n＝2的超几何分布，故P(X＝1)＝C120C180C2100＝3299.(2)ξ的可能取值为0、1、2.从这些学生中任选两名，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C，易知P(ξ＝1)＝P(A)＋P(B)＝C120C150C2100＋C150C130C2100＝5099，P(ξ＝2)＝P(C)＝C120C130C2100＝433，P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝3799.所以随机变量ξ的分布列为ξ＝k012P(ξ＝k)37995099433(2014·江苏，22)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为x1、x2、x3，随机变量X表示x1、x2、x3的最大数，求X的概率分布．[解析](1)一次取2个球共有C29＝36种可能情况，2个球颜色相同共有C24＋C23＋C22＝10种可能情况，∴取出的2个球颜色相同的概率P＝1036＝518.(2)X的所有可能取值为4、3、2，则P(X＝4)＝C44C49＝1126，P(X＝3)＝C34C15＋C33C16C49＝1363，于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1114，∴X的概率分布列为X234P111413631126在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．[误解]摸到的红球个数X服从参数为N＝30，M＝5，n＝10的超几何分布，P(X＝k)＝Ck5C10－k25C1030(k＝0,1,2,3,4,5)，至少摸到3个红球的概率为P(X≥3)＝C35C725C1030＋C45C625C1030＋C55C525C1030.[正解]摸到的红球个数X服从参数为N＝30，M＝10，n＝5的超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3,4,5.则至少摸到3个红球概率为P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝C310C220C530＋C410C120C530＋C510C020C530≈0.191.[反思总结]错解中混淆了M与n的取值，在本题中M指红球个数，应为10，n指任意取出的球的个数，应为5.盒中装有一打(12个)乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，求X的概率分布．[误解]任取3个用后放回盒中，此时盒中旧球的个数X的可能取值为4,5,6.P(X＝4)＝C19C23C312＝27220，P(X＝5)＝C29C13C312＝108220＝2755，P(X＝6)＝C39C312＝84220＝2155.所以X的概率分布表如下：X456P2722027552155[正解]由题意，盒中共有12个球，9个新球，3个旧球，任取3个用后放回盒中，此时盒中旧球的个数X的可能取值为3、4、5、6.P(X＝3)＝C33C312＝1220；P(X＝4)＝C19C23C312＝27220；P(X＝5)＝C29C13C312＝108220＝2755；P(X＝6)＝C39C312＝84220＝2155.所以X的概率分布表如下：X3456P12202722027552155求完概率分布后，要注意利用概率分布的性质进行检验．[反思总结]随机变量X的取值确定不全，丢掉了X＝3的情况．