【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习-第一部分-微专题强化练-专题5-导数及其应用课件

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索高考二轮总复习第一部分微专题强化练一考点强化练第一部分5导数及其应用考向分析考题引路强化训练231易错防范4考向分析1.导数的几何意义是高考考查的重点内容，常与解析几何的知识交汇命题，多以选择题、填空题的形式考查，有时也会出现在解答题中的关键一步．2．利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的主要考点．3．选择题、填空题侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识的综合应用，一般难度较大，属于中高档题.考题引路考例1(文)(2015·新课标Ⅰ文，14)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.[立意与点拨]考查导数的运算及导数的几何意义；先求导数，再利用切线过点(2,7)列方程求解．[答案]1[解析]因为f(x)＝ax3＋x＋1，所以f(1)＝a＋2，f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝3a＋1，所以在点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又因为切线过点(2,7)，所以7－(a＋2)＝(3a＋1)×1，解之得，a＝1.故本题正确答案为1.(理)(2015·天津文，11)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．[立意与点拨]考查导函数的意义及导数的运算法则．先求导数f′(x)，再利用f′(1)＝3列方程求解．[答案]3[解析]因为f′(x)＝a(1＋lnx)，所以f′(1)＝a＝3.[立意与点拨]本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数的零点等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先对f(x)求导，令f′(x)＝0解出x，将函数的定义域分段，列表，分析函数的单调性，求极值；第二问，利用第一问的表求函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值≤0，从而解出k的取值范围，后面再分情况分析函数有几个零点．考例2(文)(2015·北京文，19)设函数f(x)＝x22－klnx，k＞0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．[解析](1)由f(x)＝x22－klnx，(k＞0)得f′(x)＝x－kx＝x2－kx.由f′(x)＝0解得x＝k(负值舍去)．f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：x(0，k)k(k，＋∞)f′(x)－0＋f(x)k1－lnk2所以，f(x)的单调递减区间是(0，k)，单调递增区间是(k，＋∞)；f(x)在x＝k处取得极小值f(k)＝k1－lnk2.(2)由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f(k)＝k1－lnk2.因为f(x)存在零点，所以k1－lnk2≤0，从而k≥e.当k＝e时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f(e)＝0，所以x＝e是f(x)在区间(1，e]上的唯一零点．当k＞e时，f(x)在区间(0，e)上单调递减，且f(1)＝12＞0，f(e)＝e－k2＜0，所以f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点.(理)(2015·北京理，18)已知函数f(x)＝ln1＋x1－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求证：当x∈(0,1)时，f(x)＞2x＋x33；(3)设实数k使得f(x)＞kx＋x33对x∈(0,1)恒成立，求k的最大值．[立意与点拨]考查导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性，证明不等式；含参问题讨论．利用导数的几何意义，求出函数在x＝0处的函数值及导数值，再用直线方程的点斜式写出直线方程；第二步要证明不等式f(x)2x＋x33在x∈(0,1)成立，可用作差法构造函数，F(x)＝ln1＋x1－x－2(x＋x33)，利用导数研究函数F(x)在区间(0,1)上的单调性证明；第三步与第二步方法类似，构造函数研究函数单调性，但需要对参数k作讨论．[解析](1)f(x)＝ln1＋x1－x，x∈(－1,1)，f′(x)＝21－x2，f′(0)＝2，f(0)＝0，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为2x－y＝0；(2)当x∈(0,1)时，f(x)2x＋x33，即不等式f(x)－2(x＋x33)0，对∀x∈(0,1)成立，设F(x)＝ln1＋x1－x－2x＋x33＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x＋x33，则F′(x)＝2x41－x2，当x∈(0,1)时，F′(x)0.故F(x)在(0,1)上为增函数，则F(x)F(0)＝0，因此对∀x∈(0,1)，f(x)2x＋x33成立；(3)使f(x)kx＋x33成立，x∈(0,1)，等价于H(x)＝ln1＋x1－x－kx＋x330，x∈(0,1)；H′(x)＝21－x2－k(1＋x2)＝kx4＋2－k1－x2.当k∈[0,2]时，H′(x)≥0，函数在(0,1)上为增函数，H(x)H(0)＝0，符合题意；当k2时，令H′(x)＝0，x40＝k－2k∈(0,1).x(0，x0)x0(x0,1)H′(x)－0＋H(x)极小值H(x)H(0)，显然不恒成立，综上所述可知：k的最大值为2.易错防范案例1极值的概念不清致误已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝________.[易错分析]极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，忽视“f′(1)＝0⇒/x＝1是f(x)的极值点”的情况是常见错误．[解答]f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得f′1＝3＋2a＋b＝0，①f1＝1＋a＋b＋a2＝10，②联立①②得a＝4，b＝－11，或a＝－3，b＝3.当a＝4，b＝－11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1两侧的符号相反，符合题意．当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去．综上可知，a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7.[警示]对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑f′(x0)＝0，又要考虑在x＝x0两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根．案例2导数与单调性的关系理解不准致误函数f(x)＝ax3－3x在区间(－1,1)上为单调减函数，则a的取值范围是________．[易错分析]本题常因混淆f(x)在区间A上单调递减与f(x)的单调递减区间为A致误，f(x)在区间A上单调递减时，A可能是f(x)的单调减区间的一个真子集．[解答]f′(x)＝3ax2－3，∵f(x)在(－1,1)上为单调减函数，∴f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax2－3≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≤1x2，∵x∈(－1,1)，∴a≤1.[警示]若f(x)的单调减区间为[m，n]，则在x＝m(x＝n)两侧函数值异号，f′(m)＝0(f′(n)＝0)；若f(x)在区间[m，n]上单调递减，则f′(x)≤0在[m，n]上恒成立．