2014届高三数学一轮复习-(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)8.5椭圆课件-新人教A版

[知识能否忆起]1．椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的．和焦点焦距[动漫演示更形象，见配套课件]2．椭圆的标准方程及其几何性质条件2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0图形标准方程_____________________________________范围__________________________x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)|x|≤a；|y|≤b|x|≤b；|y|≤a条件2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0对称性曲线关于_______________对称曲线关于________________对称顶点长轴顶点______短轴顶点_______长轴顶点_______短轴顶点______焦点_____________焦距|F1F2|＝离心率通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为2b2ax轴、y轴、原点(±a,0)(0，±b)(0，±a)(±b,0)(±c,0)(0，±c)2ce＝ca∈x轴、y轴、原点(0,1)[小题能否全取]解析：依定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.答案：C1．(教材习题改编)设P是椭圆x24＋y29＝1的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．8C．6D．18答案：C2．(教材习题改编)方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的范围是()A．(－3,5)B．(－5,3)C．(－3,1)∪(1,5)D．(－5,1)∪(1,3)解析：由方程表示椭圆知5－m＞0，m＋3＞0，5－m≠m＋3，解得－3＜m＜5且m≠1.3．(2012·淮南五校联考)椭圆x29＋y24＋k＝1的离心率为45，则k的值为()A．－21B．21C．－1925或21D.1925或21解析：若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝5－k，由ca＝45，即5－k3＝45，得k＝－1925；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝k－5，由ca＝45，即k－54＋k＝45，解得k＝21.答案：C4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为12，焦距为8.则该椭圆的方程是________．解析：∵2c＝8，∴c＝4，∴e＝ca＝4a＝12，故a＝8.又∵b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的方程为y264＋x248＝1.答案：y264＋x248＝15．已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．解析：在三角形PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝π2，设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝3，所以离心率e＝2c2a＝33.答案：331.椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在．2．已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．椭圆的定义及标准方程[例1]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32.曲线x±y＝0与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.x28＋y22＝1B.x212＋y26＝1C.x216＋y24＝1D.x220＋y25＝1[自主解答]∵椭圆的离心率为32，∴ca＝a2－b2a＝32，∴a＝2b.故椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.∵曲线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为255b，255b，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b×255b＝4，∴b2＝5，即a2＝4b2＝20.故椭圆C的方程为x220＋y25＝1.[答案]D本例中条件“曲线x±y＝0的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16”变为“此椭圆的长轴长等于圆x2＋y2－2x－15＝0的半径”问题不变．解：∵圆x2＋y2－2x－15＝0，∴(x－1)2＋y2＝16，∴r＝4，即2a＝4，a＝2.又ca＝32，∴c＝3，∴b＝1，故椭圆方程为x24＋y2＝1.1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题．2．椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为：(1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程．3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x2m＋y2n＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且A≠B)．1．(1)(2013·张家界模拟)椭圆x24＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝()A.72B.32C.3D．4(2)(2011·江西高考)若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x轴上，过点1，12作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析：(1)因为a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝3.不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(－3，0)，设P(－3，m)(m＞0)，则－324＋m2＝1，解得m＝12，所以|PF1|＝12根据椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝22－12＝72.(2)由题意知一个切点为(1,0)，故切线长为12，以1，12为圆心，12为半径的圆的方程为(x－1)2＋y－122＝14，即x2＋y2－2x－y＋1＝0，与x2＋y2＝1相减得AB的方程为2x＋y－2＝0.令y＝0得右焦点为(1,0)，令x＝0得上顶点为(0,2)．∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为x25＋y24＝1.答案：(1)A(2)x25＋y24＝1[例2](2012·江西高考)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()椭圆的几何性质A.14B.55C.12D.5－2[答案]B[自主解答]由题意知|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，且三者成等比数列，则|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即4c2＝a2－c2，a2＝5c2，所以e2＝15，故e＝55.1．求椭圆的离心率实质上是建立a，b，c中任意两者或三者之间的关系，利用e＝ca或e＝1－ba2去整体求解．2．解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用．2．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．解：(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·m＋n22＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．∴c2a2≥14，即e≥12.又0e1，∴e的取值范围是12，1.(2)证明：由(1)知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2，即△PF1F2的面积只与短轴长有关．直线与椭圆的位置关系[例3](2012·安徽高考)如图，点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝a2c于点Q.(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．[自主解答](1)法一：由条件知，P－c，b2a.故直线PF2的斜率为kPF2＝b2a－0－c－c＝－b22ac.因为PF2⊥F2Q，所以直线F2Q的方程为y＝2acb2x－2ac2b2.故Qa2c，2a.由题设知，a2c＝4,2a＝4，解得a＝2，c＝1.故椭圆方程为x24＋y23＝1.法二：设直线x＝a2c与x轴交于点M.由条件知，P－c，b2a.因为△PF1F2∽△F2MQ，所以|PF1||F2M|＝|F1F2||MQ|.即b2aa2c－c＝2c|MQ|，解得|MQ|＝2a.所以a2c＝4，2a＝4，解得a＝2，c＝1.故椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)证明：直线PQ的方程为y－2ab2a－2a＝x－a2c－c－a2c，即y＝cax＋a.将上式代入x2a2＋y2b2＝1得x2＋2cx＋c2＝0，解得x＝－c，y＝b2a.所以直线PQ与椭圆C只有一个交点．1．直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ0时，直线和椭圆相离．2．直线和椭圆相交的弦长公式|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]或|AB|＝1＋1k2[y1＋y22－4y1y2].3．直线与椭圆相交时的常见处理方法当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．3．(2013·潍坊模拟)已知直线l：y＝x＋6，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝33，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．解：(1)设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离d＝61＋1＝3，∴b＝5－3＝2.由题意知ca＝33，a2＝b2＋c2，b＝2，∴a2＝3，b2＝2.∴椭圆E的方程为y23＋x22＝1.(2)证明：设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)，联立直线l0与椭圆E的方程得y＝kx－x0＋y0，y23＋x22＝1，消去y得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，整理得(2－x20)k2＋2kx0y0－(y20－3)＝0.设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－y20－32－x20，∵点P在圆O上，∴x20＋y20＝5，∴k1·k2＝－5－x20－32－x20＝－1.故两条切线的斜率之积为常数－1.直线与圆锥曲线位置关系是高考的必考内容，主要涉及曲线方程的求法、弦长、最值、定点等问题．解决直线与圆锥曲线位置关系问题，一般是联立方程组，消元后得一元二次方程，利用根与系数的关系来解决，重点考查基础知识，通性通法及常用技巧，所以在备考时要重视运算能力的培养与训练，提高运算的速度与准确度．“大题规范解答——得全分”系列之(七)直线与圆锥曲线位置关系的答题模板[典例](2012北京高考·满分14分)已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上