导数在求最值问题中的若干应用-

大庆师范学院本科生毕业论文导数在求最值问题中的若干应用院（系）数学科学学院专业数学与应用数学研究方向数学基础理论学生姓名安瑜宁学号201001051366指导教师姓名乔兴指导教师职称讲师2014年5月25日大庆师范学院本科毕业论文I摘要随着社会的日新月异，科技和经济的高速发展，应用数学知识解决实际问题已经成为数学理论中的一个不可或缺的组成部分，更是中学数学乃至高等数学研究的重点.而利用导数不仅可以使越来越多的实际问题转化为数学问题，而且能进行优化进而取得理想效果.本文从解决最值问题常用的方法出发，引出导数法解决最值问题的简便性和实用性，接着从经济学、生产实际及物理学等三个方面分析了导数在求最值问题中的应用及发展前景，并列举实例加以说明.关键词：导数；最值问题；应用；优化大庆师范学院本科毕业论文IIAbstractWiththechangingofsociety,therapiddevelopmentoftechnologyandeconomy,theapplicationofmathematicalknowledgetosolvepracticalproblemshasbecomeanindispensablepartinthemathematicaltheory,isafocusinthestudyofmiddleschoolmathematicsandevenadvancedmathematics.Andtheuseofderivativesnotonlymakestheactualproblemmoreandmoreintothemathematicalproblem,butalsocanbeoptimizedtoobtainidealeffect.Themethodusedtosolvetheproblemofvalueofderivativemethod,leadstosolutionstotheproblemsissimpleandpractical,thenfromthethreeaspectsofeconomics,theactualproductionandphysicsanalysisofderivativeinsolvingthemostvalueapplicationanddevelopmentprospectofproblems,andgivesanexample.Keywords:derivative;minimum/maximumproblem;application;optimization大庆师范学院本科毕业论文III目录第一章求最值问题常用的一些方法.......................................11.1函数最值的定义...................................................11.2求函数最值常用的一些方法.........................................11.2.1配方法.....................................................11.2.2换元法.....................................................21.2.3判别式法...................................................31.2.4不等式法...................................................4第二章用导数解决经济中的最值问题.....................................52.1定义.............................................................52.1.1导数的定义...............................................52.1.2导函数和驻点.............................................52.1.3成本函数.................................................62.1.4利润函数.................................................62.2最大利润问题.....................................................62.3最大征税收益问题.................................................72.4最优批量问题.....................................................8第三章用导数解决生产实际和物理学中的最值问题........................103.1材料利用问题....................................................103.2最佳选址问题....................................................113.3物理应用问题....................................................11参考文献.............................................................13大庆师范学院本科毕业论文1第一章求最值问题常用方法在生产实际和科学实验中，经常碰到“最佳”、“最省”、“最大”、“最小”、“最低”等诸多方面的问题.例如最好的质量、最高的效益、利润最大化、成本最低、最少的材料消耗、最少的投资等等，这类问题通常被称为是数学中的最值问题，往往归结为求函数的最大值或最小值问题.如何较好地解决这类问题呢？通常有如下方法：判别式法、配方法、不等式法、换元法、反函数法、函数的单调性法、图像法（数形结合法）以及均值不等式法等.1.1函数最值定义一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值.函数最小值：设函数)(xf的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数Ix，都有Mxf)(；②存在Ix0,使得Mxf)(0，那么，我们称实数M是函数)(xfy的最小值.函数最大值：设函数)(xfy的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数Ix，都有Mxf)(；②存在Ix0,使得Mxf)(0，那么，我们称实数M是函数)(xfy的最大值.1.2求函数最值常用方法函数是整个中学阶段数学学习的主要内容，而函数的最值问题是函数的重要组成部分.处理函数最值问题的价值功能就是实现新老问题的变换问题，以及对复杂问题和简单问题的转互相化，未知到已知的改造的实施，虽然解决问题的具体过程不太一样.但就其思维方式讲，一般是讲将要解决的问题经过若干次的变动转化，直到转化为一类已经解决或者很容易解决的问题，从而得到原问题的答案.尽管求函数最值的方法很多，然而每种方法都不是万能的，都有一定的针对性，因此下面的案例分析，仅针对几种常用方法。1.2.1配方法配方法是求二次函数或可化为二次函数的函数最值的基本方法.解题的基本步骤：首先将函数化为cxbfxafxF)()()(2的形式，然后利用二次函数的性质求出最值.例1求函数22)()(aeaeyxx,0aRa且的最小值.大庆师范学院本科毕业论文2分析:将已知的函数表达式按xxee配方，转化为关于变量xxee的二次函数后再求值.解:令xxeet，则222)(22aatttf．由2t知,2)(222)(2222aataatttf的定义域为，2.又抛物线)(tfy的对称轴为at，故当2a且0a时，2min)1(2)2(afy，当2a时，2)(2minaafy．注意:利用二次函数的性质求最值，此时要注意两点：第一，求二次函数在开区间内的最值，先注意对称轴是不是在开区间里.如果不在，则没有最值；如果在的话，再看开口的方向，开口向上有最小值，向下有最大值.第二，求二次函数在闭区间上的最值，先看对称轴是否在闭区间内.如果不在，我们先把闭区间两个端点处的函数值都求出来，再进行大小比较，大的是最大值，小的是最小值；如果在，把闭区间端点处的及顶点处的函数值都求出再进行大小比较，较大的是最大值，较小的就是最小值.1.2.2换元法主要有两种换元方法，一个是三角换元，另一个是代数换元.用换元法求函数最值问题时，尤其要注意中间变量的取值范围.例2求函数1312xxy，1,1x的最值.解:设sinx，其中2,2,则1sin3sin12y=1sin3cos=13cos2,由于2,2,因此6365,从而,大庆师范学院本科毕业论文3当3时，3cos有最小值1；当2时，3cos有最大值23.即当23x时，1312xxy的最大值为1；当1x时，1312xxy的最小值为13.1.2.3判别式法如果函数)(xfy可化为)0)((0)()()(2yaycxybxya的形式，而且还可以从0)()(4)(2ycyayb中求出y的取值范围，便可考虑用判别式法来求此函数的最值.判别式法适合应用于可以转变为关于x的二次方程的函数，当x的取值范围是R时，只要考虑就行；当x的范围不是R时，还需另外结合图像列出不等式组来求解.例3求函数)2(xxxy的最大值和最小值.分析:先将已知函数式变形成为一个方程式，然后用判别式法.解:根据题意)2(xxxy,两边同时平方并整理，得0)1(2222yxyx,由x是实数知081422yy）（,解得2121y，此外，由0)2(xx,得20x，于是0)2(xxxy,因此210y，故)2(xxxy的最大值为51，最小值为0.注意:判别式法大多数情况下用于求分式函数或无理函数的最值,运用这种方法一定要即全面又慎重,尤其是对于原函数的定义域不是实数而是在给定区间上的函数,当我们用判别式法求出y的范围后，应该再将端点值带回开始的函数进行检验，否则很容易出现“增值”、“误判”等情况.大庆师范学院本科毕业论文41.2.4不等式法有些函数是可以利用已经有的无需证明的重要不等式来求最值，尤其是均值不等式和柯西不等式，在求最值的问题中更是广泛的应用.下面便是著名的均值不等式：若Raaan,,,21，则nnnaaanaaa2121，当且仅当naaa21时，等号成立.均值不等式是一个在数学中被广泛应用的不等式，很多外形与它不一样的函数表达式，往往也能巧妙地利用它或转化为它来求出最值.例4如果0,0,0zyx，并且1zyx，试求zyx111的最小值.分析:本题需要采用两次均值不等式法.解:0,0,0zyx，331xyzzyx（当且仅当31zyx时，等号成立）,271xyz，xyz的最大值是271,而331xyzzyx（当且仅当31zyx时，等号成立）,92731113zyx（当且仅当31zyx时，等号成立）,因此zyx111的最小值为9.注意:当我们运用均值不等式求最值时，一定要看清楚前提：（1）每一项都非负；（2）每一项的和或积是常数；（3）每一项取得的值相等.而必要时应该适当地变形，从而使以上的前提得以满足.简单的可以概括为“一正、二定、三相等”.大庆师范学院本科毕业论文5第二章用导数解决经济中的最值问题