2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第七章-第4讲-直线与圆的位置关系

第4讲直线与圆的位置关系1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．直线与圆的位置关系相交相切相离判断直线与圆的位置关系的方法几何法drd＝rdr代数法Δ0Δ＝0Δ01．直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系内含内切相交外切外离判断直线与圆的位置关系方法(rR)dR－rd＝R－rR－rdR＋rd＝R＋rdR＋r公切线条数012342.两圆的位置关系3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算．(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB|＝1＋k2|xA－xB|＝1＋k2[xA＋xB2－4xAxB].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．4．求过点P(x0，y0)的圆x2＋y2＝r2的切线方程(1)若点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则以点P为切点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)若点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2外，则过点P的切线方程可设为y－y0＝k(x－x0)，利用待定系数法求解．说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况．1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()BA．内切C．外切B．相交D．相离解析：两圆心之间的距离为d＝－2－22＋0－12＝17，两圆的半径分别为r1＝2，r2＝3，则r2－r1＝1dr1＋r2＝5，故两圆相交．故选B.2．(2014年广州一模)若直线y＝k(x＋1)与圆(x＋1)2＋y2＝1)A相交于A，B两点，则|AB|的值为(A．2B．1C.12D．与k有关的数值解析：直线y＝k(x＋1)过点(－1,0)，即圆(x＋1)2＋y2＝1的圆心，故|AB|的值为圆的直径2.3．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________________．(x＋1)2＋y2＝24．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是____________．x－y＋1＝05．(2015年广东广州一模)直线x＋ay＋1＝0与圆x2＋(y－1)2＝4的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不能确定A考点1直线与圆的位置关系例1：(2014年广东珠海一模)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方，得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有|4＋2a|a2＋1＝2.解得a＝－34.(2)方法一：过圆心C作CD⊥AB于点D,则根据题意和圆的性质，得CD＝|4＋2a|a2＋1，CD2＋DA2＝AC2＝22，DA＝12AB＝2.解得a＝－7或－1.∴直线l的方程是7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.方法二：联立方程ax＋y＋2a＝0，x2＋y2－8y＋12＝0，消去y，得(a2＋1)x2＋4(a2＋2a)x＋4(a2＋4a＋3)＝0.设此方程的两根分别为x1，x2，则由AB＝22＝a2＋1[x1＋x22－4x1x2]，解得a＝－7或－1.∴直线l的方程是7x－y＋14＝0和x－y＋2＝0.【规律方法】1判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法和代数法根的判别式.2关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、弦心距、弦长的一半所组成的直角三角形求解，也可用代数法的弦长公式求解.【互动探究】A1．(2013年广东)垂直于直线y＝x＋1，且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x＋y－2＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋2＝0解析：与直线y＝x＋1垂直的直线的斜率k＝－1，设直线为x＋y＋c＝0，与圆x2＋y2＝1相切，d＝|c|2＝1，c＝±2.结合图象知，c＝－2时，直线与圆相切于第一象限．2．(2012年广东)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为()BA．33B．23C.3D．1解析：圆x2＋y2＝4的圆心O(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝|－5|5＝1，则|AB|＝2r2－d2＝23.考点2圆与圆的位置关系例2：若圆x2＋y2－2mx＋m2－4＝0与圆x2＋y2＋2x－4my＋4m2－8＝0相切，则实数m的取值集合是__________．解析：∵圆(x－m)2＋y2＝4的圆心为O1(m,0)，半径r1＝2，圆(x＋1)2＋(y－2m)2＝9的圆心为O2(－1,2m)，半径r2＝3，两圆相切，∴|O1O2|＝r1＋r2或|O1O2|＝r2－r1.∴m＋12＋2m2＝5或m＋12＋2m2＝1，解得m＝－125或m＝2，或m＝0或m＝－25.∴实数m的取值集合是－125，－25，0，2.【规律方法】1判断圆与圆的位置关系利用圆心距与两圆半径之间的关系；2两圆相切包括内切和外切，两圆相离包括外离和内含.答案：－125，－25，0，2【互动探究】3．(2014年湖南)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()CA．21C．9B．19D．－11解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，r1＝1，圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0配方，得(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心为(3,4)，r2＝25－m.若两圆外切，则圆心距d＝32＋42＝5＝1＋25－m，m＝9.考点3直线与圆的综合应用例3：已知圆C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，若OP⊥OQ，求m的值．思维点拨：本题主要考查直线的方程、直线与圆的位置关系、根与系数的关系及均值不等式等知识点．解：方法一：圆的圆心为C－12，3，设直线与圆的交点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x2＋y2＋x－6y＋m＝0，x＋2y－3＝0.消去y，得5x2＋10x＋4m－27＝0.设x1，x2是方程的两个根，则x1＋x2＝－2，x1·x2＝4m－275.∵OP⊥OQ，∴kOP·kOQ＝－1，即y1x1·y2x2＝－1，有x1x2＋y1y2＝0.又∵点P，Q在直线x＋2y－3＝0上，∴y1y2＝14(3－x1)(3－x2)＝14x1x2＋9－3x1＋x2，即54x1x2＋94－34(x1＋x2)＝m－3＝0.解得m＝3.方法二：由直线x＋2y－3＝0，得3＝x＋2y，代入圆的方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，有x2＋y2＋13(x＋2y)(x－6y)＋m9(x＋2y)2＝0.整理，得(12＋m)x2＋4(m－3)xy＋(4m－27)y2＝0.故得(4m－27)yx2＋4(m－3)yx＋(12＋m)＝0.∴kOP，kOQ是上述方程的两根．故kOP·kOQ＝－1，得12＋m4m－27＝－1，解得m＝3.方法三：圆x＋122＋(y－3)2＝374－m的圆心为C－12，3，设弦PQ的中点为M，CM⊥PQ，则CM的斜率为2.∴CM的方程为y－3＝2x＋12，即y＝2x＋4.由方程组y＝2x＋4，x＋2y－3＝0，解得M(－1,2)，则以PQ为直径的圆可设为(x＋1)2＋(y－2)2＝r2.∵OP⊥OQ，∴坐标原点在该圆上，则(0＋1)2＋(0－2)2＝r2＝5.在Rt△CMQ中，CM2＋MQ2＝CQ2，即－12＋12＋(3－2)2＋5＝374－m，解得m＝3.方法四：设过P，Q的圆系方程为x2＋y2＋x－6y＋m＋λ(x＋2y－3)＝0.由OP⊥OQ知，点O(0,0)在圆上．∴m－3λ＝0，即m＝3λ.∴圆的方程化为x2＋y2＋x－6y＋3λ＋λx＋2λy－3λ＝0，即x2＋(1＋λ)x＋y2＋2(λ－3)y＝0.∴圆心M－1＋λ2，3－λ.又圆心M在PQ上，∴－1＋λ2＋2(3－λ)－3＝0.∴λ＝1.∴m＝3.【规律方法】求解本题时，应避免去求P，Q两点坐标的具体数值.除此之外，还应对求出的m值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点存在，这一点很容易被同学们忽略；方法一显示了解这类题的通法，方法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于yx的二次方程，虽然有规律可循，但需要一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法一气呵成.【互动探究】4．(2013年重庆)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()BA．6B．4C．3D．2解析：如图D25，圆心(3，－1)到直线x＝－3的距离为6，所以|PQ|的最小值为6－2＝4.图D25●易错、易混、易漏●⊙忽略斜率不存在的情形及转化不等价致误例题：(1)一直线经过点P－3，－32被圆x2＋y2＝25截得的弦长为8，则此弦所在的直线方程为______________．正解：①当斜率k不存在时，过点P的直线方程为x＝－3，代入x2＋y2＝25，得y1＝4，y2＝－4.∴弦长为y1－y2＝8，符合题意．②当斜率k存在时，设所求方程为y＋32＝kx＋3，答案：x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0即kx－y＋3k－32＝0.而弦心距OM＝52－42＝3，∴k·0－0＋3k－32k2＋1＝3，解得k＝－34.∴此直线方程为y＋32＝－34x＋3，即3x＋4y＋15＝0.∴所求直线方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.(2)若关于x的方程4－x2＝kx＋2只有一个实数根，则k的取值范围为()A．k＝0B．k＝0或k1C．k1或k－1D．k＝0或k1或k－1正解：由题意，设y1＝4－x2，y2＝kx＋2.当k＝0时，原方程只有1个解x＝0，满足题意；当k≠0时，根据题意画出图象，如图7­4­1，易知当k1或k－1时，直线y＝4－x2与y＝kx＋2只有一个交点，即原方程只有一个解．故选D.图7-4-1答案：D【规律方法】（1）判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法和代数法(根的判别式).（2）求弦长的两种方法:②几何法:利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离,利用勾股定理、垂径定理求弦长.(3)本题还要注意,斜率不存在时直线x+3=0也符合题意.①代数法:弦长公式|AB|=21k|x1－x2