2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第七章-第3讲-圆的方程

第3讲圆的方程1．掌握确定圆的几何要素．2．掌握圆的标准方程与一般方程．1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．(a，b)2．圆的标准方程(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圆心为______，半径为r的圆的标准方程．(2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为__________________．3．圆的一般方程方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可变形为x＋D22＋y＋E22＝D2＋E2－4F4.故有：x2＋y2＝r2(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以－D2，－E2为圆心，以D2＋E2－4F2为半径的圆；(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点－D2，－E2；(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．4．点M(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系点M在圆内⇔x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F0；点M在圆上⇔x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝0；点M在圆外⇔x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F________0.5．两圆的位置关系设两圆的半径分别为R，r，圆心距为d.两圆相外离⇔dR＋r⇔公切线条数为4条；两圆相外切⇔d＝R＋r⇔公切线条数为3条；2两圆相交⇔R－rdR＋r⇔公切线条数为________条；两圆内切⇔d＝R－r⇔公切线条数为1条；两圆内含⇔dR－r⇔无公切线．)A)D1．圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为(A．x2＋(y－4)2＝25B．x2＋(y＋4)2＝25C．(x－4)2＋y2＝25D．(x＋4)2＋y2＝252．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)3．若直线y＝x＋b平分圆x2＋y2－8x＋2y＋8＝0的周长，则b＝()DA．3C．－3B．5D．－54．以点(2，－1)为圆心，且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是____________________．(x－2)2＋(y＋1)2＝252考点1求圆的方程例1：(1)求经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程．解：(1)方法一：从数的角度，选用标准式．设圆心P(x0，y0)，则由|PA|＝|PB|，得(x0－5)2＋(y0－2)2＝(x0－3)2＋(y0－2)2.(2)设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在这个圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22,求圆的方程．又2x0－y0－3＝0，两方程联立，得x0＝4，y0＝5.∴|PA|＝10.∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.方法二：从数的角度，选用一般式．设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为－D2，－E2，∴52＋22＋5D＋2E＋F＝0，32＋22＋3D＋2E＋F＝0，2×－D2－－E2－3＝0，解得D＝－8，E＝－10，F＝31.∴圆的方程是x2＋y2－8x－10y＋31＝0.方法三：从形的角度．AB为圆的弦，由平面几何知识知，圆心P应在AB的中垂线x＝4上，则由2x－y－3＝0，x＝4，得x＝4，y＝5，即圆心P(4,5)．∴半径r＝|PA|＝10.∴圆的方程是(x－4)2＋(y－5)2＝10.(2)设点A关于直线x＋2y＝0的对称点为A′，∵AA′为圆的弦，∴A与A′的对称轴x＋2y＝0过圆心．设圆心P(－2a，a)，半径为R，则R＝|PA|＝－2a－22＋a－32.又弦长22＝2R2－d2，d＝|－2a－a＋1|2，∴R2＝2＋3a－122，4(a＋1)2＋(a－3)2＝2＋3a－122.∴a＝－7或a＝－3.当a＝－7时，R＝244；当a＝－3时，R＝52.∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.【规律方法】1确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.因此利用待定系数法求圆的方程时，不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.2研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量.总之，要数形结合，拓宽解题思路.与弦长有关的问题经常需要用到点到直线的距离公式、勾股定理、垂径定理等.【互动探究】1．(2013年江西)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是_____________________．解析：设圆心为(2，－r＋1)，圆的方程为(x－2)2＋(y＋r－1)2＝r2，将(0,0)代入，得r＝52，故圆的方程为(x－2)2＋y＋322＝254.(x－2)2＋y＋322＝254考点2与圆有关的最值问题例2：已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)yx的最大值和最小值；(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．图D24解：(1)方法一：如图D24，方程x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx＝k，即y＝kx，由圆心(2,0)到y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大或最小值．由|2k－0|k2＋1＝3，解得k2＝3，k＝±3.∴yxmax＝3，yxmin＝－3.方法二：由平面几何知识，有OC＝2，PC＝3，∠POC＝60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°，则yxmax＝tan60°＝3，yxmin＝tan120°＝－3.(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，纵轴截距b将取最小值．由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6.故(y－x)min＝－2－6.(3)x2＋y2是圆上点与原点距离的平方，如图D24，OC与圆交于点B，其延长交圆于点C′，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－3)2＝7－43.【规律方法】方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心,以3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,y－x可看作直线y=x+b在y轴上的截距，x2+y2是圆上一点与原点距离的平方,可借助平面几何的知识,利用数形结合求解.涉及与圆有关的最值问题,可借助图形性质,利用数形结合求解,一般地：①形如u=ybxa形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题．【互动探究】2．已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1，则2x－y的最大值为________，最小值为________．解析：令b＝2x－y，则b为直线y＝2x－b在y轴上的截距的相反数．当直线2x－y＝b与圆相切时，b取得最值．由|2×2＋1－b|5＝1，解得b＝5±5.所以2x－y的最大值为5＋5，最小值为5－5.5＋55－5考点3圆的综合应用例3：(2014年重庆)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．解析：圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆C的圆心为(－1,2)，半径r＝3.又直线x－y＋a＝0与圆C交于A，B两点,且AC⊥BC，所以圆心C到直线x－y＋a＝0的距离d＝22r＝322.|－1－2＋a|12＋－12＝322，整理，得|a－3|＝3，解得a＝0或a＝6.答案：0或6【规律方法】AC⊥BC，在等腰直角三角形ABC中，|CA|＝|CB|＝r＝3，圆心C到直线AB的距离d＝322.利用点到直线的距离公式求解.【互动探究】3．(2013年重庆)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()AA．52－4B.17－1C．6－22D.17解析：把圆C1以x轴为对称轴对折,得C1′:(x－2)2＋(y＋3)2＝1，所以(|PM|＋|PN|)min＝|C1′C2|－|C1′M|－|C2N|＝52－1－3＝52－4.●思想与方法●⊙利用函数与方程的思想探讨与圆有关的定值问题(1)求椭圆E的方程；(2)如图7-3-1，设椭圆E的上、下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M.若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．例题：(2012年广东佛山二模)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点为F1－3，0，且过点H3，12.图7-3-1解：(1)方法一：由题意，得a2－b2＝3，3a2＋14b2＝1.解得a2＝4，b2＝1，∴椭圆E的方程为x24＋y2＝1.方法二：椭圆的两个焦点分别为F1(－3，0),F2(3，0)，由椭圆的定义，得2a＝|HF1|＋|HF2|＝72＋12＝4.∴a＝2，b2＝a2－(3)2＝1.∴椭圆E的方程为x24＋y2＝1.(2)方法一：由(1)知，A1(0,1)，A2(0，－1)．设P(x0，y0)，直线PA1：y－1＝y0－1x0x，令y＝0，得xN＝－x0y0－1；直线PA2：y＋1＝y0＋1x0x，令y＝0，得xM＝x0y0＋1.设圆G的圆心为12x0y0＋1－x0y0－1，h，则r2＝12x0y0＋1－x0y0－1－x0y0＋12＋h2＝14x0y0＋1＋x0y0－12＋h2，OG2＝14x0y0＋1－x0y0－12＋h2，OT2＝OG2－r2＝14x0y0＋1－x0y0－12＋h2－14x0y0＋1＋x0y0－12－h2＝x201－y20.而x204＋y20＝1，∴x20＝4(1－y20)．∴OT2＝41－y201－y20＝4.∴|OT|＝2，即线段OT的长度为定值2.方法二：由(1)知，A1(0,1)，A2(0，－1)．设P(x0，y0)，直线PA1：y－1＝y0－1x0x，令y＝0，得xN＝－x0y0－1；直线PA2：y＋1＝y0＋1x0x，令y＝0，得xM＝x0y0＋1.|OM|·|ON|＝－x0y0－1·x0y0＋1＝x20y20－1，而x204＋y20＝1，∴x20＝4(1－y20)．∴|OM|·|ON|＝x20y20－1＝41－y20y20－1＝4.由切割线定理，得OT2＝|OM|·|ON|＝4.∴|OT|＝2，即线段OT的长度为定值2.【规律方法】本题涉及椭圆、圆、多条直线及多个点，先设点Px0，y0，求出直线PA1、直线PA2的方程，进一步求出点M，N的坐标是基础；再设圆心为G，则OT2＝OG2－r2或直接利用切割线定理OT2＝OM·ON求解.