2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第十章-第3讲-坐标系与参数方程

第3讲坐标系与参数方程1．理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．4．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．5．了解参数方程，了解参数的意义；能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．6．了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．7．了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用．1．极坐标和直角坐标的互化公式若点M的极坐标为(ρ，θ)，直角坐标为(x，y)，将直角坐标化为极坐标利用公式①，将极坐标化为直角坐标利用公式②.则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，①ρ2＝x2＋y2tanθ＝yx，x≠0.②2．参数方程(1)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为_____________________________________，参数θ的几何意义是圆上的点绕圆心旋转的角度．(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程为______________(φ为参数)．(3)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的参数方程为x＝asecφ，y＝btanφ(φ为参数)．x＝a＋rcosθ，y＝b＋rsinθ(θ为参数)x＝acosφ，y＝bsinφ(4)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)．(5)过点P(x0，y0)，且斜率为ba的直线的参数方程为x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)；过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα，此时|t|表示参数t对应的点M(x，y)到定点M0(x0，y0)的距离．CD1.若点M的直角坐标是(－1，3),则点M的极坐标为()A.2，π3B.2，－π3C.2，2π3D.2，2kπ＋π3(k∈Z)2．极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为()A.x＋122＋y2＝14B．x2＋y＋122＝14C．x2＋y－122＝14D.x－122＋y2＝14Dx＋y＝13．若直线的参数方程为x＝1＋2t，y＝2－3t，(t为参数)，则该直线的斜率为()A.23B．－23C.32D．－324．方程ρsinθ＋π4＝22表示的曲线的普通方程是________．考点1极坐标与直角坐标的相互转化例1：在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝2的距离为d，求d的最大值．3解：将极坐标方程转化为普通方程：x2＋y2＝9，ρ(cosθ＋3sinθ)＝2可化为x＋3y＝2.在x2＋y2＝9上任取一点A(3cosα，3sinα)，则点A到直线的距离为d＝|3cosα＋33sinα－2|2＝|6sinα＋30°－2|2，它的最大值为4.【规律方法】极坐标与直角坐标的相互转化，一定要记住两组互化公式.直角坐标化为极坐标方程比较容易，只是将公式x=ρcosθ，y=ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换，其中方程两边同乘ρ及方程两边平方是常用的变形方法.1＋52【互动探究】1．(1)(2013年上海)在极坐标系中，曲线ρ＝cosθ＋1与ρcosθ＝1的公共点到极点的距离为__________．解析：将ρ＝cosθ＋1，ρcosθ＝1化简，得(ρ－1)ρ＝1，ρ2－ρ－1＝0，ρ＝1±52.又ρ0，则公共点到极点的距离为1＋52.1(2)(2013年北京)在极坐标系中，点2，π6到直线ρsinθ＝2的距离等于________．解析：将点2，π6转化成普通坐标为(3，1)，ρsinθ＝2转换成普通方程为y＝2，所以所求点到直线的距离等于1.考点2参数方程与普通方程的相互转化例2：(1)(2012年广东)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为C1：x＝t，y＝t(t是参数)和C2：x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ是参数)，则它们的交点坐标为________．解析：C1：y2＝x(y0)，C2：x2＋y2＝2，得交点坐标为(1,1)．答案：(1,1)(2)(2013年湖南)在平面直角坐标系xOy中，若l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为__________．解析：将l：x＝t，y＝t－a(t为参数)和C：x＝3cosφ，y＝2sinφ转换成普通方程为y＝x－a和x29＋y24＝1，直线与x轴的交点为(a,0)就是椭圆的右顶点(3,0)，所以a＝3.答案：3【规律方法】常见的消参数法有：代入消元抛物线的参数方程、加减消元直线的参数方程、平方后再加减消元圆、椭圆的参数方程等.经常使用的公式有sin2α＋cos2α＝1.在将曲线的参数方程化为普通方程的过程中一定要注意参数的范围，确保普通方程与参数方程等价.【互动探究】2．已知两曲线的参数方程分别为x＝5cosθ，y＝sinθ(0≤θπ)和x＝54t2，y＝t(t∈R)，则它们的交点坐标为________．解析：x＝5cosθ，y＝sinθ表示椭圆x25＋y2＝1(－5x≤5，且0≤y≤1)，x＝54t2，y＝t表示抛物线y2＝45x.联立方程，得x25＋y2＝1－5x≤5，且0≤y≤1，y2＝45x，⇒x2＋4x－5＝0⇒x＝1或x＝－5(舍去)．又因为0≤y≤1，所以它们的交点坐标为1，255.答案：1，255考点3极坐标与参数方程的相互转化(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ2π)．例3：(2013年新课标Ⅰ)已知曲线C1的参数方程为x＝4＋5cost，y＝5＋5sint(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.解：将x＝4＋5cost，y＝5＋5sint消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.∴C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0，由x2＋y2－8x－10y＋16＝0，x2＋y2－2y＝0解得x＝1，y＝1或x＝0，y＝2.∴C1与C2交点的极坐标为2，π4，2，π2.【规律方法】极坐标方程与参数方程之间不能直接互化，必须以普通方程为桥梁，即将极坐标方程转化为普通方程再转化为参数方程，或将参数方程转化为普通方程再转化为极坐标方程，要注意普通方程与参数方程的等价性.【互动探究】3．(2013年广东)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C的参数方程为__________________________.x＝1＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数)解析：ρ＝2cosθ的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，其参数方程为x＝1＋cosθ，y＝sinθ.4．(2014年广东肇庆一模)已知曲线l1的极坐标系方程为ρsinθ－π4＝22(ρ0,0≤θ≤2π)，直线l2的参数方程为x＝1－2t，y＝2t＋2(t为参数)．若以直角坐标系的x轴的非负半轴为极轴，则l1与l2的交点A的直角坐标是______．答案：(1,2)解析：ρsinθ－π4＝22⇒ρsinθcosπ4－ρcosθsinπ4＝22⇒y－x＝1.x＝1－2t，y＝2t＋2⇒x＋y＝3.由x＋y＝3，y－x＝1⇒x＝1，y＝2⇒A(1,2)．●易错、易混、易漏●⊙参数方程与普通方程互化时应注意参数的取值范围例题：(1)(2012年广东)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为C1：x＝5cosθ，y＝5sinθ(θ是参数，0≤θ≤π2)和C2：x＝1－22t，y＝－22t(t是参数)，则它们的交点坐标为_____．正解：C1：x2＋y2＝5(0≤x≤5)，C2：y＝x－1，解得交点坐标为(2,1)．答案：(2,1)(2)曲线x＝sinθ，y＝sin2θ(θ为参数)与直线y＝a有两个公共点，则实数a的取值范围是________．答案：(0,1]图10-3-1正解：如图10­3­1，曲线x＝sinθ，y＝sin2θ(θ为参数)为抛物线y＝x2(－1≤x≤1)．若曲线与直线y＝a有两个公共点，则借助图形观察易得0a≤1.【失误与防范】在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是把其中的参数消去，还要注意x，y的取值范围，同时在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.本题很容易忽略参数方程中0≤sin2θ≤1的限制而致错.