2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第二章-第9讲-函数的图象

第9讲函数的图象1．掌握基本初等函数的图象，能够利用函数的图象研究函数的性质．2．理解基本函数图象的平移、伸缩和对称变换，会求变换后的函数解析式．1．函数图象的作图方法以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法．2．三种图象变换(1)平移变换：①把y＝f(x)的图象沿y轴方向平移|b|个单位长度后可得到y＝f(x)＋b(b≠0)的图象，当b0时，向上平移；当b0时，向____平移．下②把y＝f(x)的图象沿x轴方向平移|a|个单位长度后可得到y＝f(x＋a)(a≠0)的图象，当a0时，向左平移；当a0时，向____平移．右(2)伸缩变换：①把y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A1时)到原来的A倍，横坐标不变，就得到y＝Af(x)(A0，A≠1)的图象．②把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长(当0w1时)或缩短(当w1时)到原来的______倍，纵坐标不变，就得到y＝f(wx)(w0，w≠1)的图象．1w(3)对称变换：①y＝f(x)y＝f(－x)；②y＝f(x)y＝－f(x)；③y＝f(x)y＝－f(－x)；④y＝f(x)y＝f(|x|)；⑤y＝f(x)y＝|f(x)|.关于y轴对称关于x轴对称关于原点对称关于原点对称去左翻右去下翻上1．(2015年福建模拟)函数y＝＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是()AABCD12x2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函)B数y＝f(x)的图象可能是(ACBD)C3．函数y＝lg|x|的图象大致是(ACBD4．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()CA．没有根C．有且仅有两个根B．有且仅有一个根D．有无穷多个根解析：构造两个函数y＝|x|和y＝cosx，在同一个坐标系内画出它们的图象，如图D4，观察知图象有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．图D4考点1函数图象的辨析例1：(2013年福建)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()ABCD解析：f(x)＝ln(x2＋1)为偶函数，f(0)＝0.故选A.答案：A【规律方法】函数图象主要涉及三方面的问题，即作图、识图、用图.作图主要应用描点法、图象变换法以及结合函数的性质等方法；识图要能从图象的分布范围、变化趋势、对称性等方面，来研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性及周期性等性质；用图是函数图象的最高境界，利用函数图象的直观性可以方便、快捷、准确地解决有关问题，如求值域、单调区间、求参数范围、判断非常规方程解的个数等，这也是数形结合思想的重要性在中学数学中的重要体现.【互动探究】1．若loga20(a0，且a≠1)，则函数f(x)＝loga(x＋1)的图象大致是()BACBD考点2函数图象的变换例2：(1)(2014年山东)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，)其中a0，a≠1)的图象如图2-9-1，则下列结论成立的是(图2-9-1A．a1，c1C．0a1，c1B．a1,0c1D．0a1,0c1解析：由图知，y＝loga(x＋c)的图象是由y＝logax的图象向左平移c个单位而得到的，其中0c1，再根据单调性易知0a1.故选D.答案：D(2)若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①f1(x)＝sinx＋cosx；②f2(x)＝2sinx＋2；③f3(x)＝sinx；④f4(x)＝2(sinx＋cosx)．其中是“同形”函数的有__________．答案：①②解析：f1(x)＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4向右平移π4个单位长度，再向上平移2个单位长度,即可得到f2(x)＝2sinx＋2，因此①②“同形”．f3(x)＝sinx，f4(x)＝2(sinx＋cosx)＝2sinx＋π4与①②都必须经过收缩变换才可能重合．【规律方法】本题考查的是作图，作图主要应用描点法、图象变换法以及结合函数的性质等方法.函数图象的变换主要有三种：平移变换、伸缩变换、对称变换.要特别注意平移变换与伸缩变换的顺序不同会带来不同的结果.【互动探究】2．将函数y＝2x的图象按向量a平移后得到函数y＝2x＋6的图象，给出下列四个命题：①a的坐标可以是(－3,0)；②a的坐标可以是(0,6)；③a的坐标可以是(－3,0)或(0,6)；④a的坐标可以有无数种情况．其中是真命题的个数是()DA．1个B．2个C．3个D．4个考点3函数图象的应用例3：若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．设曲线y1＝(x－2)2，x∈(0,3)和直线y2＝1－m，如图2-9-2，曲线与直线交点的个数即为原方程解的个数．解：原方程变形为3－x0，x－22＝1－m.图2-9-2①当1－m＝0时，有唯一解x0＝2，此时m＝1；②当1≤1－m4时，有唯一解，此时－3m≤0.所以当m＝1或－3m≤0时，方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解．【规律方法】本题要求的是在x∈0，3内有唯一解，注意利用y1＝x－22，x∈0，3和直线y2＝1－m的图象，通过交点的个数来判断，切勿利用根的判别式，因为根的判别式只能判断有无根，但不能判断根是否在0，3内.【互动探究】3．(2014年福建)函数f(x)＝x2－2，x≤0，2x－6＋lnx，x0的零点个数是__________个．2解析：令x2－2＝0，得x＝±2.∵x≤0，∴x＝－2.令2x－6＋lnx＝0，得6－2x＝lnx.在同一直角坐标系内，画出y＝6－2x，y＝lnx的图象，如图D5，观察知，交点有1个．∴原函数零点的个数为2个．图D5●思想与方法●⊙用数形结合与分类讨论的思想讨论方程根的分布例题：(2014年广东广州水平测试)已知a∈R，函数f(x)＝x|x－a|.(1)当a＝2时，求函数y＝f(x)的单调递增区间；(2)求函数g(x)＝f(x)－1的零点个数．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x|x－2|＝x2－2x，x≥2，－x2＋2x，x2，即f(x)＝x－12－1，x≥2，－x－12＋1，x2.根据图象知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，1]和[2，＋∞)．(2)方法一：函数g(x)＝f(x)－1的零点个数问题等价于函数y＝f(x)与y＝1的交点的个数．f(x)＝x|x－a|＝x2－ax，x≥a，－x2＋ax，xa，即f(x)＝x－a22－a24，x≥a，－x－a22＋a24，xa.图2-9-3图2-9-4①当a0时，函数y＝f(x)在(－∞，a)上是增函数，在a，a2上是减函数，在a2，＋∞上是增函数，且f(a)＝0，如图2­9­3,函数y＝f(x)与y＝1有1个交点，此时函数g(x)有1个零点；②当a＝0时，函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(1)＝1，如图2­9­4，函数y＝f(x)与y＝1有1个交点，此时函数g(x)有1个零点；③当0a2时，函数y＝f(x)在－∞，a2上是增函数，在a2，a上是减函数，在(a，＋∞)上是增函数，且fa2＝a241，如图2­9­5，函数y＝f(x)与y＝1有1个交点，此时函数g(x)有1个零点；图2-9-5图2-9-6④当a＝2时，函数y＝f(x)在(－∞，1)上是增函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，且f(1)＝1，如图2-9-6，函数y＝f(x)与y＝1有2个交点，此时函数g(x)有2个零点；图2-9-7⑤当a2时，函数y＝f(x)在－∞，a2上是增函数，在a2，a上是减函数，在(a，＋∞)上是增函数，且fa2＝a241，如图2­9­7，函数y＝f(x)与y＝1有3个交点，此时函数g(x)有3个零点．综上所述，当a2时，函数g(x)＝f(x)－1的零点个数为1；当a＝2时，函数g(x)＝f(x)－1的零点个数为2；当a2时，函数g(x)＝f(x)－1的零点个数为3.方法二：函数g(x)＝f(x)－1的零点个数问题等价于函数y＝f(x)－1与x轴的交点的个数．g(x)＝f(x)－1＝x|x－a|－1＝x2－ax－1，x≥a，－x2＋ax－1，xa，即g(x)＝x－a22－a24－1，x≥a，－x－a22＋a24－1，xa.ⅰ)当xa时，上是增函数，如图2-9-8，此时函数g(x)与x轴有1个交点；图2-9-8图2-9-9①当a0时，g(a)＝－1,ga2＝－a24－10，g(x)在a2，＋∞②当a＝0时，g(0)＝－1，g(x)在(0，＋∞)上是增函数，如图2-9-9，此时函数g(x)与x轴有1个交点；③当a0时，g(a)＝－1，g(x)在(a，＋∞)上是增函数，此时函数g(x)与x轴有1个交点．图2-9-10ⅱ)当x≤a时，①当a0时，函数y＝g(x)在(－∞，a)上是增函数，g(a)＝－10，如图2-9-11，此时函数g(x)与x轴有0个交点；图2-9-11图2-9-12②当a＝0时，函数y＝g(x)在(－∞，0)上是增函数，且g(0)＝－10，如图2-9-12，此时函数g(x)与x轴有0个交点；图2-9-13图2-9-14③当0a2时，函数y＝g(x)在－∞，a2上是增函数，在a2，a上是减函数，且ga2＝a24－10，如图2­9­13，此时函数g(x)与x轴有0个交点；④当a＝2时，函数y＝g(x)在(－∞，1)上是增函数，在(1,2)上是减函数，且g(1)＝0，如图2-9-14，此时函数g(x)与x轴有1个交点；⑤当a2时，函数y＝g(x)在－∞，a2上是增函数，在a2，a上是减函数，且ga2＝a24－10，g(a)＝－10，如图2­9­15，此时函数g(x)与x轴有2个交点．综上所述知，当a2时，函数g(x)＝f(x)－1的零点个数为1;当a＝2时，函数g(x)＝f(x)－1的零点个数为2；当a2时，函数g(x)＝f(x)－1的零点个数为3.图2-9-15图2-9-16方法三：函数g(x)＝f(x)－1的零点个数等价于函数y＝|x－a|与y＝1x的交点的个数．①当a0时，考查方程－x＋a＝1x，x2－ax＋1＝0，当Δ＝a2－4＝0，a＝2，此时直线y＝－x＋a与y＝1x相切，如图2­9­16，函数y＝|x－a|与y＝1x有2个交点；图2-9-17图2-9-18②当a2时，如图2­9­17，函数y＝|x－a|与y＝1x有1个交点；③当a2时，如图2­9­18，函数y＝|x－a|与y＝1x有3个交点．综上所述，当a2时，函数g(x)＝f(x)－1的零点个数为1;当a＝2时，函数g(x)＝f(x)－1的零点个数为2；当a2时，函数g(x)＝f(x)－1的零点个数为3.