2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第五章-第1讲-数列的概念与简单表示法

第五章数列、推理与证明第1讲数列的概念与简单表示法1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列可以看作是定义域为N*的非空子集的函数，其图象是一群孤立的点．2．数列的分类无限分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数______按项与项之间的大小关系分类递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1____an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列an的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．Sn与an的关系已知Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.在数列{an}中，若an最大，则an≥an－1，an≥.若an最小，则an≤，an≤an＋1.an＋1an－11．数列1,2,4,8,16,32，…的一个通项公式是()A．an＝2n－1B．an＝2n－1C．an＝2nD．an＝2n＋12．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为()A．an＝2n－1B．an＝(－1)n＋1(2n－1)C．an＝(－1)n(2n－1)D．an＝(－1)n(2n＋1)3．在数列{an}中，若a1＝12，an＝11－an－1(n≥2，n∈N*)，则a20＝()A．1B．－1C.12D．2BBD4．如图5-1-1所示的是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案．若按此规律铺设，则第n个图案中需用黑)D色瓷砖的块数为(用含n的代数式表示)(图5-1-1A．4nB．4n＋1C．4n－3D．4n＋8考点1由数列的前几项写数列的通项公式例1：分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出．(1)22－12，32－13，42－14，52－15，…；(2)－12，16，－112，120，…；(3)0.9,0.99,0.999,0.9999，…；(4)5,4,5,4，….解：(1)该数列第1,2,3,4项的分母分别为2,3,4,5，恰好比项数多1.分子中的22,32,42,52，恰是分母的平方，－1不变，故它的一个通项公式为an＝n＋12－1n＋1.(2)该数列各项符号是正负交替变化的,需有一个因子(－1)n,分子均为1不变，分母2,6,12,20可分解为1×2,2×3,3×4,4×5，故它的一个通项公式为an＝(－1)n·1nn＋1.(3)∵0.9＝1－0.1,0.99＝1－0.01,0.999＝1－0.001，0.9999＝1－0.0001，又0.1＝10－1,0.01＝10－2,0.001＝10－3,0.0001＝10－4，∴它的一个通项公式为an＝1－10－n.(4)∵这个数列前4项构成一个摆动数列，奇数项是5，偶数项是4.∴它的一个通项公式为an＝4＋1＋－1n－12＝9＋－1n－12或者an＝5，n为奇数，4，n为偶数.【规律方法】对于一个公式能否成为一个给出的前n项的数列的通项公式，需逐项加以验证，缺一不可．根据数列{an}的前n项求通项公式，我们常常取其形式上较简便的一个即可．另外，求通项公式，一般可通过观察数列中各项的特点，进行分析、概括，然后得出结论，必要时可加以验证．已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑：①负号用(－1)n与(－1)n＋1[或(－1)n－1]来调节；②分数形式的数列，分析分子、分母的特征，且充分借助分子、分母的关系；③相邻项的变化特征；④拆项后的特征；⑤对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列，等比数列(后面专门学习)和其他方法解决；⑥此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法．【互动探究】1．已知数列{an}的前4项分别为1,0,1,0，则下列各式可作为数列{an}的通项公式的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个①an＝1－－1n2；②an＝sin2nπ2；③an＝1－cosnπ2，(n∈N*)；④an＝1n为正偶数，0n为正奇数；⑤an＝12[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)．解析：由三角函数公式知，②和③实质上是一样的，不难验证，它们是已知数列1,0,1,0的通项公式；对于④，易看出，它不是数列{an}的通项公式；对于⑤，将n＝3代入，a3＝3≠1，故⑤不是{an}的通项公式；①显然是数列{an}的通项公式．综上所述，可作为数列{an}的通项公式有3个．故选C.答案：C2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图5-1-2.图5-1-2他们研究过图5-1-2(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图5-1-2(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又)是正方形数的是(A．289C．1225B．1024D．1378解析：第n个三角形数可表示为12n(n＋1)，第n个四边形数可表示为n2.故选C.C考点2由递推关系式求数列的通项公式例2：已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1，n∈N*.(1)若a1＝－1，写出此数列的前4项，并推测该数列的通项公式；(2)若a1＝1，写出此数列的前4项，并推测该数列的通项公式．(2)方法一：a1＝1，a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，可推测该数列{an}的通项公式为an＝2n－1.方法二：由an＋1＝2an＋1⇒an＋1＋1＝2(an＋1)⇒an＋1＋1=(a1＋1)2n－1⇒an＋1＝2n－1.解：(1)a1＝a2＝a3＝a4＝－1，可推测该数列{an}的通项公式为an＝－1.【规律方法】数列的递推公式是由递推关系式递推和首项基础两个因素所确定的，即使递推关系完全一样，而首项不同就可得到两个不同的数列；适当配凑是本题进行归纳的前提，从整体把握是现代数学的重要手段，加强类比是探索某些规律的常用方法之一.【互动探究】3．已知在数列{an}中，a1＝12，an＋1＝1－1an(n≥2)，则a2014＝________.12解析：由题知，a2＝1－1a1＝－1，a3＝1－1a2＝2，a4＝1－1a3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列．又∵2014＝671×3＋1，∴a2014＝a1＝12.考点3利用an与Sn的关系求数列的通项公式例3：已知数列{an}的前n项和为Sn，按照下列条件求数列的通项公式．(1)若Sn＝2n2－n，求数列{an}的通项公式；(2)若Sn＝n2＋n＋1，求数列{an}的通项公式．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝2n2－n－2(n－1)2＋(n－1)＝4n－3.经检验，当n＝1时，a1＝1也适合an＝4n－3.∴数列{an}的通项公式是an＝4n－3.【规律方法】已知an求Sn的方法多种多样，但已知Sn求an的方法却是高度统一，化简关系式用Sn表示出an是关键．当n≥2时，若由an＝Sn－Sn－1求出的an对n＝1也成立，则an＝Sn－Sn－1，否则就分段表示．(2)当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n.∴数列{an}的通项公式是an＝3n＝1，2nn≥2.【互动探究】4．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a3＝(A)A．8C．2B．4D．1解析：由S1＝2(a1－1)＝a1，得a1＝2.由S2＝2(a2－1)，得a2＝4.由S3＝2(a3－1)，得a3＝8.●思想与方法●⊙用函数的思想探讨数列的单调性例题：已知单调递增数列{an}，an＝n2－kn(n∈N*)，求实数k的取值范围．解：∵an＝n2－kn(n∈N*)，∴an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k.∵数列{an}单调递增，∴an＋1－an0，即2n＋1－k0恒成立．∴k2n＋1，即k3.【规律方法】函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，若数列所对应的函数单调，则数列一定单调；反之，若数列单调，则其所对应的函数不一定单调．因为数列是定义域为正整数集的特殊函数，所以数列的单调性一般要通过比较an+1与an的大小来判断．若an＋1an，则数列为递增数列；若an＋1an，则数列为递减数列．解本题易出现的错误是an是关于n的二次函数，其定义域为正整数集，若数列{an}递增，则必有k2≤1，故k≤2.