2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第二章-第7讲-一次函数、反比例函数及二次函数

第7讲一次函数、反比例函数及二次函数1．会运用函数图象理解和研究函数的性质．2．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．1．一次函数一次函数y＝kx＋b，当k0时，在实数集R上是增函数；当k0时，在实数集R上是减函数．2．反比例函数反比例函数y＝kx的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当k0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数；当k0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．二次函数a0a0开口开口向上开口向下3．二次函数解析式的三种形式f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：______________________，顶点为(h，k)．(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标．4．二次函数的图象及性质f(x)＝ax2＋bx＋c二次函数a0a0对称轴顶点单调性最值（续表）f(x)＝ax2＋bx＋cx＝－b2ax＝－b2a，－b2a，4ac－b24a最小值为4ac－b24a最____值为4ac－b24a在－∞，－b2a上单调递减；在－b2a，＋∞上____________在－∞，－b2a上单调递增；在－b2a，＋∞上单调递减－b2a4ac－b24a单调递增大1．若一次函数y＝kx＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则点(k，b)在直角坐标平面的()CA．上半平面B．下半平面C．左半平面D．右半平面C2．函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是()A．－9B．－72C．－3D．－13．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间[1,2]上是单调函数，则实数a的取值范围是______________．4．函数y＝ax和y＝bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx＋c在(－∞，0)上的单调性为____________．a≤－1或a≥0单调递增考点1二次函数的值域例1：根据函数单调性求下列函数的值域．(1)f(x)＝x2＋4x－1，x∈[－4，－3]；(2)f(x)＝－2x2－x＋4，x∈[－3，－1]；(3)f(x)＝2x2－4x－1，x∈(－1,3)；(4)f(x)＝－12x2－x－1，x∈[－4,0]．解：(1)f(x)＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5，在区间[－4，－3]上单调递减，则y∈[－4，－1]．(2)f(x)＝－2x2－x＋4＝－2214x＋338，f(x)在区间x∈[－3，－1]上单调递增，则y∈[－11,3]．(3)f(x)＝2x2－4x－1＝2(x－1)2－3，x∈(－1,3)，当x＝1时，f(x)取最小值为－3，又f(－1)＝f(3)＝5，则y∈[－3,5)．(4)f(x)＝－12x2－x－1＝－12(x＋1)2－12，x∈[－4,0]，当x＝－1时，f(x)取最大值为－12.又f(－4)＝－5，f(0)＝－1，则y∈－5，－12.【规律方法】求二次函数在某个区间上的最值，最容易出现的错误就是直接代两头(将两端点代入)，当然这样做，有时答案也对，那是因为在该区间上函数刚好单调，这纯属巧合.求二次函数在某个区间上的最值，应该先配方，找到对称轴和顶点，再结合图形求解.【互动探究】1．已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6(a∈R)．(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若对一切x∈R，函数f(x)的值均为非负数，求a的取值范围．(2)∵对一切x∈R，函数f(x)的值均为非负数，∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝8(2a2－a－3)≤0.∴－1≤a≤32.解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，.∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0.∴2a2－a－3＝0.∴a＝－1或a＝32.考点2含参数问题的讨论例2：已知函数y＝－sin2x＋asinx－a4＋12的最大值为2，求a的值．解：令t＝sinx，则t∈[－1,1]．∴y＝－t－a22＋14(a2－a＋2)，对称轴为t＝a2.①当－1≤a2≤1，即－2≤a≤2时，ymax＝14(a2－a＋2)＝2，解得a＝－2或a＝3(舍去)．②当a21，即a2时，函数y＝－t－a22＋14(a2－a＋2)在[－1,1]上单调递增，由ymax＝－12＋34a＝2，解得a＝103.③当a2－1，即a－2时，函数y＝－t－a22＋14(a2－a＋2)在[－1,1]上单调递减，由ymax＝－54a－12＝2，得a＝－2(舍去)．综上所述，a的值为a＝－2或a＝103.【规律方法】“区间固定对称轴动”以及“对称轴固定区间动”是二次函数中分类讨论的最基本的两种题型，应该引起同学们足够的重视.本例中的二次函数是区间t∈[－1，1]固定，对称轴t＝2a在变化，因此要讨论对称轴相对于该区间的位置关系，即分－1≤2a≤1，2a1及2a－1三种情况讨论.【互动探究】2．(2014年江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意的x∈[m，m＋1]都有f(x)0，则实数m的取值范围为__________．解析：∵对∀x∈[m，m＋1]都有f(x)0，∴f(m)＝m2＋m2－10，f(m＋1)＝(m＋1)2＋m(m＋1)－10.解得－22m0.－22，0考点3二次函数的综合应用例3：设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，F(x)＝()(0),()()(0).fxxFxfxx(1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈[－3,3]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围；(3)设m0，n0，且m＋n0，a0，f(x)为偶函数，求证：F(m)＋F(n)0.(1)解：∵f(－1)＝0，∴b＝a＋1.由f(x)≥0恒成立，知Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0，∴a＝1.∴b＝2.从而f(x)＝x2＋2x＋1.∴22(1)(0),()(1)(0).xxFxxx(2)解：由(1)知，f(x)＝x2＋2x＋1，∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1.由g(x)在[－3,3]上是单调函数知，－2－k2≤－3或－2－k2≥3，解得k≤－4或k≥8.(3)证明：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.而a0，∴f(x)＝ax2＋1在[0，＋∞)上为增函数．由()(0),()()(0)fxxFxfxx知，当x0时，－x0，F(－x)＝－f(－x)＝－f(x)＝－F(x)．当x0时，－x0，F(－x)＝f(－x)＝f(x)＝－F(x)．∴F(x)是奇函数，且F(x)在(0，＋∞)上为增函数．由m0，n0，m＋n0知，m－n0，则F(m)F(－n)．∴F(m)－F(n)，即F(m)＋F(n)0.【互动探究】3．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，那么实数a的取值范围是____________．解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－1a，∵f(x)在(－∞，4)上单调递增，∴a0，且－1a≥4，解得－14≤a0.综上所述，－14≤a≤0.－14，0●思想与方法●⊙运用分类讨论的思想探讨二次函数的最值例题：已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；(2)问是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12－t(视区间[a，b]的长度为b－a)．解：(1)∵f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．若函数在区间[－1,1]上存在零点，则(1)0,(1)0,ff≤≥即11630,11630.qq≤≥∴－20≤q≤12.(2)∵0≤t10，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x＝8.①当08,8108,tt≤≤≥即0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0，解得t＝15±172，∴t＝15－172.②当08,8108,tt≤≤≥即6t≤8时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，∴f(10)－f(8)＝12－t.解得t＝8.③当8t10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，∴f(10)－f(t)＝12－t.即t2－17t＋72＝0.解得t＝8(舍去)或t＝9，∴t＝9.综上所述，存在常数t＝15－172，或t＝8，或t＝9满足条件．【规律方法】“区间固定对称轴动”以及“对称轴固定区间动”是二次函数中分类讨论的最基本的两种题型.本例中的二次函数是对称轴x＝8固定，而区间[t，10]不固定，因此需要讨论该区间相对于对称轴的位置关系，即分0≤t≤6，6t≤8及8t10三种情况讨论.