2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第七章-第6讲-椭圆

第6讲椭圆1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．2．理解数形结合的思想．1．椭圆的概念在平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数2a(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：a＞c(1)若________，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)标准方程性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率a，b，c的关系（续表）y2a2＋x2b2＝1(ab0)x2a2＋y2b2＝1(ab0)e＝ca∈(0,1)c2＝a2－b2DD1．椭圆x216＋y28＝1的离心率为()A.13B.12C.33D.222．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|＝()A．4B．5C．8D．103．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是________________________．4．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_____________．x216＋y27＝1或x27＋y216＝1x236＋y29＝1考点1椭圆定义及标准方程例1：(1)(2014年大纲)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.x23＋y22＝1B.x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1D.x212＋y24＝1答案：A解析：由椭圆定义知，△AF1B的周长为4a＝43，a＝3，离心率为e＝ca＝33，∴c＝1，b2＝a2－c2＝2，则C的方程为x23＋y22＝1.(2)(2013年大纲)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，)则C的方程为(A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1解析：方法一(待定系数法)：设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，可得c＝a2－b2＝1，所以a2－b2＝1.①∵AB经过右焦点F2，且垂直于x轴，且|AB|＝3，∴可得A1，32，B1，－32，代入椭圆方程，得12a2＋322b2＝1.②联立①②，得a2＝4，b2＝3.∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1.方法二(定义法)：设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．∵AB经过右焦点F2，且垂直于x轴，且|AB|＝3，答案：C∴A1，32，2a＝|AF1|＋|AF2|＝1＋12＋322＋1－12＋322＝52＋32＝4，a＝2，b2＝4－1＝3.∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1.【规律方法】（1）求曲线的方程时,应从“定形”“定焦”“定式”“定量”四个方面去思考.“定形”是指首先要清楚所求曲线是椭圆还是双曲线；“定焦”是指要清楚焦点在x轴还是在y轴上；“定式”是指设出相应的方程；“定量”是指计算出相应的参数.（2）求椭圆的关键是确定a,b的值,常利用椭圆的定义解题.在解题时应注意“六点”(即两个焦点与四个顶点)对椭圆方程的影响.当椭圆的焦点位置不明确,应有两种情况,亦可设方程为mx2+ny2=1（m0,n0,m≠n）,这样可以避免分类讨论.【互动探究】1．(2013年广东)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为DF(1,0)，离心率等于12，则C的方程是()A.x23＋y24＝1B.x24＋y23＝1C.x24＋y22＝1D.x24＋y23＝1解析：右焦点为F(1,0)，c＝1，e＝ca＝12，a＝2.b2＝a2－c2＝3，所以C的方程是x24＋y23＝1.考点2椭圆的几何性质例2：(1)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.45B.35C.25D.15答案：B解析：由题意，a＋c＝2b⇒(a＋c)2＝4b2＝4(a2－c2)，整理，得5c2＋2ac－3a2＝0，即5e2＋2e－3＝0⇒e＝35或e＝－1(舍去)．(2)已知椭圆C：x29＋y24＝1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝__________.解析：如图D26，由已知条件，得点F1，F2分别是椭圆x29＋y24＝1的左、右焦点，且F1，F2，K分别是线段MB，MA，MN的中点，则在△NBM和△NAM中，|NB|＝2|KF1|，|NA|＝2|KF2|.又由椭圆定义，得|KF1|＋|KF2|＝2a＝6，故|AN|＋|BN|＝2(|KF1|＋|KF2|)＝12.图D26【规律方法】讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点.求离心率的常用方法有以下两种：①求得a，c的值，直接代入公式e＝ca求得；②列出关于a，b，c的齐次式或不等式，利用b2＝a2－c2消去b，转化成关于e的方程或不等式求解.【互动探究】2．(2013年四川)从椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.24B.12C.22D.32C解析：由题意，得kAB＝－ba，kOP＝－b2ac.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP.∴b＝c.∵a2＝b2＋c2，∴e2＝c2a2＝12.∴e＝22.考点3直线与椭圆的位置关系例3：(2014年辽宁)圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图7-6-1)．(1)求点P的坐标；图7-6-1(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y＝x＋3交于A，B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．解：(1)首先设切点P(x0，y0)(x00，y00)，由圆的切线的性质，kOP＝y0x0，则切线斜率k＝－x0y0，进而可表示切线方程为x0x＋y0y＝4.建立目标函数S＝12·4x0·4y0＝8x0y0.故要求面积最小值，只需要确定x0y0的最大值．由x20＋y20＝4≥2x0y0，当且仅当x0＝y0＝2时，等号成立，即切点P的坐标为2，2.(2)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，点P在椭圆上，有2a2＋2b2＝1.联立方程组x2a2＋y2b2＝1，y＝x＋3，得b2x2＋43x＋6－2b2＝0，可得x1＋x2＝－43b2，x1x2＝6－2b2b2.故|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋12x1＋x22－4x1x2＝248－24b2＋8b4b2.由点P到直线l的距离为|2－2＋3|12＋－12＝32，得△PAB的面积S＝12×32|AB|＝2，即b4－9b2＋18＝0.解得b2＝6或b2＝3.所以b2＝6，a2＝3(舍去)或b2＝3，a2＝6.所以椭圆C的标准方程为x26＋y23＝1.【规律方法】直线与椭圆的位置关系主要涉及公共点问题和相交弦问题．实际上就是直线与椭圆方程联立的方程组实数解的个数问题，故直线与椭圆相交⇔Δ0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ0.若涉及弦长问题，常用弦长公式：|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2.【互动探究】3．若AB是过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM＝()A．－c2a2B．－b2a2C．－c2b2D．－a2b2答案：B解析：方法一(直接法)：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(－x1，－y1)，∴kAM·kBM＝y0－y1x0－x1·y0＋y1x0＋x1＝y20－y21x20－x21＝－b2a2x20＋b2－－b2a2x21＋b2x20－x21＝－b2a2.方法二(特殊值法)：∵四个选项为确定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM＝－b2a2.●思想与方法●⊙利用函数与方程的思想求解椭圆中的最值问题例题：已知椭圆C：x2m2＋y2＝1(常数m1)，点P是C上的动点，M是右顶点，定点A的坐标为(2,0)．(1)若M与A重合，求C的焦点坐标；(2)若m＝3，求|PA|的最大值与最小值；(3)若|PA|的最小值为|MA|，求m的取值范围．解：(1)m＝2，椭圆方程为x24＋y2＝1，c＝4－1＝3，∴左、右焦点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)．(2)若m＝3，则椭圆方程为x29＋y2＝1.设P(x，y)，则|PA|2＝(x－2)2＋y2＝(x－2)2＋1－x29＝89x－942＋12(－3≤x≤3)，∴当x＝94时，|PA|min＝22；当x＝－3时，|PA|max＝5.(3)设动点P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝(x－2)2＋y2＝(x－2)2＋1－x2m2＝m2－1m2x－2m2m2－12－4m2m2－1＋5(－m≤x≤m)．∵|PA|的最小值为|MA|，则当x＝m时，|PA|取最小值，且m2－1m20，∴2m2m2－1≥m，且m1，解得1m≤1＋2.【规律方法】设Px，y是椭圆22xa＋22yb＝1ab0上任意一点，则|x|≤a.在构造以x为自变量的目标函数时，要特别注意自变量x的范围，忽视椭圆的这一几何性质是导致求最值出现错误的主要原因.