2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第三章-第6讲-简单的三角恒等变换

第6讲简单的三角恒等变换1．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．2．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．1．转化思想转化思想是三角变换的基本思想，包括角的变换、函数名的变换、和积变换、次数变换等．三角函数公式中次数和角的关系：次降角升；次升角降．常用的升次公式有：1＋sin2α=(sinα＋cosα)2；1－sin2α=(sinα－cosα)2；1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α.2．三角函数公式的三大作用(1)三角函数式的化简．(2)三角函数式的求值．(3)三角函数式的证明．3．求三角函数最值的常用方法(1)配方法．(2)化为一个角的三角函数．(3)数形结合法．(4)换元法．(5)基本不等式法．1．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则tan2β＝()A.16B．－16C.17D．－172.sin235°－12sin20°＝()A.12B．－12C．－1D．1CB3．sin17°cos47°－sin73°cos43°＝________.－124．(2013年上海)函数y＝4sinx＋3cosx的最大值是____．解析：y＝4sinx＋3cosx＝42＋32sin(x＋φ)＝5sin(x＋φ)，其中tanφ＝34，则最大值是5.5考点1三角变换与图象例1：已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tanα2＝1－tan2α2，求α＋β的值．思维点拨：由—的关系可求出α的正切值．再依据已知角βα2和2α＋β构造α＋β，从而可求出α＋β的一个三角函数值，再据α＋β的范围，从而确定α＋β的值．解：由4tanα2＝1－tan2α2，得tanα＝2tanα21－tan2α2＝12.由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，∴2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα.∴tan(α＋β)＝2tanα.∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2.∴α＋β＝π4.【规律方法】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向．【互动探究】1．化简：1＋sin2x－cos2x1＋sin2x＋cos2x.解：原式＝1＋2sinxcosx－cos2x＋sin2x1＋2sinxcosx＋cos2x－sin2x＝2sin2x＋2sinxcosx2cos2x＋2sinxcosx＝2sinxsinx＋cosx2cosxsinx＋cosx＝tanx.2．已知sinx－cosx＝12，求sin3x－cos3x的值．解：由sinx－cosx＝12，得(sinx－cosx)2＝14，即1－2sinxcosx＝14，∴sinxcosx＝38.∴sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)(sin2x＋sinxcosx＋cos2x)＝12×1＋38＝1116.考点2三角恒等式的证明例2：求证：sina＋βsinα－βsin2αcos2β＝1－tan2βtan2α.思维点拨：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角变换中经常使用的方法．证法一：左边＝sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβsin2αcos2β＝sin2αcos2β－cos2αsin2βsin2αcos2β＝1－cos2αsin2βsin2αcos2β＝1－tan2βtan2α.＝右边．∴原式成立．证法二：右边＝1－cos2αsin2βsin2αcos2β＝sin2αcos2β－cos2αsin2βsin2αcos2β＝sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβsin2αcos2β＝sinα＋βsinα－βsin2αcos2β＝左边．∴原式成立．－2cos(α＋β)．3．求证：sinβsinα＝sin2α＋βsinα证法一：右边＝sin[α＋β＋α]－2cosα＋βsinαsinα＝sinα＋βcosα－cosα＋βsinαsinα＝sin[α＋β－α]sinα＝sinβsinα＝左边．【互动探究】证法二：sin2α＋βsinα－sinβsinα＝sin2α＋β－sinβsinα＝2cosα＋βsinαsinα＝2cos(α＋β)，所以sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sinβsinα.易错、易混、易漏⊙利用三角函数的有界性求解____________．例题：函数f(x)＝sin2x＋22cosπ4＋x＋3的值域为解析：原函数可化为f(x)＝sin2x＋2(cosx－sinx)＋3，设cosx－sinx＝t，t∈[－2，2]，则sin2x＝1－t2，f(x)＝－t2＋2t＋4＝－(t－1)2＋5.∴当t＝1时，f(x)max＝5.当t＝－2时，f(x)min＝2－22.答案：[2－22，5]【失误与防范】解决这类题往往用换元法，但容易忽略换元后新元t的取值范围，从而导致错解．