2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第五章-第6讲-合情推理和演绎推理

第6讲合情推理和演绎推理1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．1．合情推理合情推理主要包括归纳推理和类比推理．(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到________的推理．2．演绎推理特殊(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到________的推理．特殊(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．1．下面使用类比推理恰当的是(A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc”D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”)C2．在△ABC中，若BC⊥AC，AC＝b，BC＝a，则△ABC结论是：在四面体S-ABC中，若SA，SB，SC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，则四面体S-ABC的外接球半径R＝_________________.的外接圆半径r＝a2＋b22.将此结论拓展到空间，可得出的正确a2＋b2＋c22_____________________________．4．已知1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，则第5个等式为___________________________________，推广到第n个等式为_____________________________________________________．3．若在等差数列{an}中，有a11＋a12＋…＋a2010＝a1＋a2＋…＋a3030，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论是10b11b12·…·b20＝30b1b2·…·b301－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋51－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1(1＋2＋3＋…＋n)考点1归纳推理例1：(1)(2013年陕西)观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5……照此规律，第n个等式为______________________________________________________________________________.(2)观察下列不等式：照此规律，第5个不等式为__________________________．1＋122321＋122＋132531＋122＋132＋14274……答案：(1)(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．【规律方法】归纳推理的一般步骤：①通过对某些个体的观察、分析和比较，发现它们的相同性质或变化规律；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题.如以上两小题在进行归纳总结时，要看等号左边式子的变化规律，右边结果的特点，根据以上规律写出所求等式，注意行数、项数及其变化规律是解题的关键.(2)1＋122＋132＋142＋152＋162116【互动探究】1．观察以下等式：1＝11＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝101＋2＋3＋4＋5＝1513＝113＋23＝913＋23＋33＝3613＋23＋33＋43＝10013＋23＋33＋43＋53＝225可以推测13＋23＋33＋…＋n3＝______________(用含有n的式子表示，其中n为自然数)．n2(n+1)242．(2014年广东揭阳一模)给出下列等式：2＝2cosπ4，2＋2＝2cosπ8，2＋2＋2＝2cosπ16，…，请从中归纳出第n个等式为2222n+++＝________.个2cos12n+考点2类比推理例2：(1)如图5­6­1，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若a11＝a22＝a33＝a44＝k，则41i(ihi)＝2Sk.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若S11＝S22＝S33＝S44＝k，则41i(iHi)＝()图5-6-1A.4VkB.3VkC.2VkD.Vk答案：B解析：在平面四边形中，连接点P与各个顶点，将其分成四个小三角形，根据三角形的面积公式,得S＝12×(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)＝12(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)＝k241(iihi)，41(iihi)＝2Sk.类似地，连接点Q与三棱锥的四个顶点，将其分成四个小三棱锥，则有V＝13(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)＝13(kH1＋2kH2＋3kH3＋4kH4)＝3k(H1＋2H2＋3H3＋4H4)＝3k41(iiHi)，∴41(iiHi)＝3Vk.(2)记等差数列{an}的前n项的和为Sn，利用倒序求和的方法，得Sn＝na1＋an2；类似地，记等比数列{bn}的前n项的积为Tn，且bn0(n∈N*)，则类比等差数列求和的方法，可将Tn表示成首项b1，末项bn与项数n的一个关系式，即Tn＝________.解析：Tn＝b1·b2·…·bn，Tn＝bn·bn－1·…·b1，两式相乘，得2nT＝(bn·b1)·(bn－1·b2)·…·(b1·bn).由等比中项的性质,得Tn=1()nnbb.解析：1()nnbb【规律方法】类比推理经常用到转化与化归的思想，如空间转化为平面、三角形类比三棱锥、正方形类比正方体、实数类比到向量、椭圆类比到双曲线、等差数列类比到等比数列等.类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题猜想.【互动探究】3．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆的半径为r，则r＝2Sa＋b＋c；类比这个结论知，四面体S­ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体S­ABC的体积为V，则r＝()A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4答案：C解析：设四面体的内切球球心为O，则VS­ABC＝VO­ABC＋VO­SAB＋VO­SAC＋VO­SBC，即V＝13S1r＋13S2r＋13S3r＋13S4r，∴r＝12343VSSSS+++.考点3演绎推理例3：(2014年陕西)已知f(x)＝x1＋x，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f[fn(x)]，n∈N*，则f2014(x)的表达式为____________．解析：f(x)＝x1＋x＝x＋1－11＋x＝1－11＋x.∵x≥0，∴1＋x≥1.∴11＋x≤1.∴1－11＋x≥0，即f(x)≥0，当且仅当x＝0时取“＝”．当x＝0时，f(0)＝0；当x0时，f(x)0.∵fn＋1(x)＝f[fn(x)]，∴fn＋1(x)＝fnx1＋fnx.∴1fn＋1x＝1＋fnxfnx＝1fnx＋1，即1fn＋1x－1fnx＝1.∴数列1fnx是以1f1x为首项，1为公差的等差数列．∴1fnx＝1f1x＋(n－1)×1＝1x1＋x＋n－1＝1＋nxx.【规律方法】演绎推理是一种必然性推理，只要前提和推理形式正确，其结论也必然正确.∴fn(x)＝x1＋nx(x0)．当x＝0时，fn(0)＝01＋0＝0.∴fn(x)＝x1＋nx(x≥0)．∴f2014(x)＝x1＋2014x.答案：x1＋2014x【互动探究】4．(2014年新课标Ⅰ)已知甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市．乙说：我没去过C城市．丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．A城市B城市C城市甲去过没去去过乙去过没去没去丙去过可能可能解析：根据题意，可将三人可能去过哪些城市的情况列表，表格如下：由表中可以得出结论：乙去过的城市为A.答案：A考点4信息给予题例4：(2013年广东)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三个条件xyz，yzx，zxy恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是()A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)S，(x，y，w)S解析：若(x，y，z)＝(1,2,3)∈S和(z，w，x)＝(3,4,1)∈S，则(y，z，w)＝(2,3,4)∈S，(x，y，w)＝(1,2,4)∈S.故选B.答案：B【互动探究】5．设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋bi|(a，b为整数，i为虚数单位)}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．其中真命题是____________(写出所有真命题的序号)．解析：直接验证知，①正确；当S为封闭集时，∵x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确；对于集合S＝{0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误；取S＝{0}，T＝{0,1}，满足S⊆T⊆C，但由于0－1＝－1∉T，故T不是封闭集，④错误．答案：①②