2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第八章-第3讲-点、直线、平面之间的位置关系

第3讲点、直线、平面之间的位置关系1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解四个公理及其推论，了解等角定理，并能以此作为推理的依据．1．平面基本性质即三条公理的“图形语言”“文字语言”“符号语言”列表公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理1公理2公理3符号语言（续表）公理2的三条推论：推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．,,,AlBlAB∈∈∈∈⇒l⊂αA，B，C不共线⇒A，B，C确定平面αP∈α，P∈β⇒,lPl∈公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．2．空间线、面之间的位置关系异面无数个没有2空间直线与平面的位置关系直线在平面内：直线与平面有公共点；直线与平面相交：直线与平面有且只有一个公共点；直线与平面平行：直线与平面没有公共点.3空间两个平面的位置关系两个平面平行：公共点；两个平面相交：有一条公共直线.3．异面直线所成的角过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a′与b′.那么直线a′与b′所成的____________，叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)，其范围是____________．锐角或直角(0°，90°]1．(2013年安徽蚌埠二模)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()BA．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面2．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是)A“这两条直线没有公共点”的(A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()CA．3条B．4条C．5条D．6条解析：如图D35，用列举法知，符合要求的棱为：BC，CD，C1D1，BB1，AA1.故选C.图D35)D4．若A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，P∈l，则(A．P⊂αB．PαC．lαD．P∈α考点1平面的基本性质)例1：若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：不妨设直线l∩α＝M，过点M的α内的直线与l不异面，故A错误；假设存在与l平行的直线m，则由m∥l，得l∥α，这与l∩α＝M矛盾，故B正确；C显然错误；α内存在与l异面的直线，故D错误．故选B.答案：B【规律方法】直线在平面内也叫平面经过直线，如果直线不在平面内，记作lα，包括直线与平面相交及直线与平面平行两种情形.反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研究点、线、面位置关系的基础，三个公理也是立体几何作图和逻辑推理的依据.公理1是判断直线在平面内的依据；公理2的作用是确定平面，这是把立体几何转化成平面几何的依据；公理3是证明三多点共线或三线共点的依据.【互动探究】1．下列推断中，错误的个数是()A①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α；②A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合；③lα，A∈l⇒Aα.A．1个C．3个B．2个D．0个考点2空间内两直线的位置关系例2：如图8-3-1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分)别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是(图8-3-1A．MN与CC1垂直C．MN与BD平行B．MN与AC垂直D．MN与A1B1平行答案：D解析：取CC1中点P，则MP∥BC，NP∥C1D1，∵CC1⊥BC，CC1⊥C1D1，∴CC1⊥MP，CC1⊥NP，∴CC1⊥平面MNP，∴CC1⊥MN，∴故A正确；取CD中点Q，BC中点R，则NQ12D1D，MR12CC1.∵CC1∥D1D，∴NQMR.∴MN∥QR.∵QR∥BD，AC⊥BD，∴AC⊥MN.故B正确；∵MN∥QR，QR∥BD，∴MN∥BD，∴故C正确．故选D.【规律方法】判断直线是否平行比较简单直观，可以利用公理4；判断直线是否异面则比较困难，掌握异面直线的两种判断方法：①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，再由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面；②在客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.【互动探究】2．如图8-3-2所示的是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________(填上所有正确答案的序号)．图8-3-2①②③3．如图8-3-3，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则使直线GH，MN是异面直线的图形有__________(填上所有正确答案的序号)．图8-3-3解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点在三棱柱的侧面上，MG与这个侧面相交于G，∴M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面．答案：②④考点3异面直线所成的角例3：(人教版选修2­1P92­1)在正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC­A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A．60°B．90°C．105°D．75°解析：方法一：如图8­3­4，取线段AB，BC，BB1，B1C1的中点，分别为F，G，E，D，连接EF，ED，DF，FG，DG.设BB1＝1，则AB＝BC＝AC＝2.∴AB1＝BC1＝3.∴EF＝ED＝12AB1＝32，FG＝12AC＝22.又DG＝1，∴DF＝FG2＋DG2＝62.有EF2＋ED2＝DF2，∴EF⊥ED.∴AB1与C1B所成角的大小为90°.图834方法二：如图8­3­5，设BB1＝BL＝1，则AB＝KL＝2图835有KB＝BC1＝22＋12＝3，KC1＝22＋22＝6.有KB2＋BC21＝KC21，∴KB⊥BC1.∴AB1与C1B所成角的大小为90°.方法三：以AB中点O为坐标原点，建立如图8­3­6所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则AB＝BC＝2，OC＝22－222＝62.则A－22，0，0，B22，0，0，C0，62，0，A1－22，0，1，B122，0，1，C10，62，1，∴AB1→＝(2，0,1)，C1B→＝22，－62，－1.∴AB1→·C1B→＝1－0－1＝0，即AB1与C1B所成角的大小为90°.方法四：以A1为原点，以A1C1的垂线A1G，A1C1，A1A的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图8­3­7所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A1B1＝2，A(0,0,1)，B162，22，0，C1(0，2，0)，B62，22，1.图836图837∴AB1→＝62，22，－1，C1B→＝62，－22，1.∴AB1→·C1B→＝64－24－1＝0，即AB1与C1B所成角的大小为90°.答案：B【规律方法】求异面直线所成角的基本方法就是平移，有时候平移两条直线，有时候只需要平移一条直线，只要得到两条相交直线，最后在三角形或四边形中解决问题；求异面直线所成角也可用空间向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法.B【互动探究】4．(2014年大纲)已知在正四面体ABCD中，点E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A.16B.36C.13D.33解析：设AD的中点为F，连接EF，CF，则EF∥BD，所以CE与EF所成的角就是异面直线CE与BD所成的角．设正四面体ABCD的棱长为2a，EF＝a，CE＝CF＝3a，由余弦定理，得cos∠CEF＝a2＋3a2－3a22a·3a＝123＝36.考点4三点共线、三线共点的证明例4：如图8-3-6，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．图8-3-6证明：(1)如图837，连接EF，CD1，A1B.图837∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，且EF＝12CD1，∴四边形CD1FE为梯形．∴CE与D1F必相交．设交点为点P，如图8­3­7，则由点P∈CE，CE⊂平面ABCD，得点P∈平面ABCD.同理点P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴点P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点．【规律方法】要证明M，N，K三点共线，由公理3知，只要证明M，N，K都在两个平面的交线上即可.证明多点共线问题：①可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；②可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相交两平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公共点.【互动探究】5．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF与GH交于点M，则()AA．点M一定在AC上B．点M一定在BD上C．点M可能在AC上，也可能在BD上D．点M既不在AC上，也不在BD上解析：点M在平面ABC内，又在平面ADC内，故必在交线AC上．