2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第二章-第8讲-幂函数

第8讲幂函数1．了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝12x的图象，了解它们的变化情况．1．幂函数的定义一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象五个常用幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝12x，y＝x－1的图象，如图2­8­1.图2-8-13．幂函数y＝xα的图象，在第一象限内直线x＝1的右侧，图象由下至上，指数α由小到大；y轴和直线x＝1之间，图象由上至下，指数α由小到大．幂函数y＝xy＝x2y＝x3定义域RRR__________(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)________________________奇偶性奇偶奇非奇非偶奇4．五个常用幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝12x，y＝x－1的性质y＝12xy＝x－1[0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，0)∪幂函数y＝xy＝x2y＝x3单调性单调递增在(－∞，0)上，单调递减；在(0，＋∞)上，单调递增单调递增单调递增在(－∞，0)上，单调递减在(0，＋∞)上，___________定点(0,0)，(1,1)(1,1)（续表）y＝12xy＝x－1单调递减1．所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是(A．(0,0)B．(0,1)C．(1,1)D．(－1，－1)2．函数y＝13x的图象是())CB图2-8-23．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则f13＝()A.3B.33C.13D.194．如图2­8­2，曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象．已知α分别取－1,1，12，2四个值，则相应图象依次为：__________.Bc4，c2，c3，c1考点1幂函数的概念例1：已知m∈N*，函数f(x)＝(2m－m2)·2232mmx在(0,＋∞)上是增函数，判断函数f(x)的奇偶性．解：由函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，得2m2＋3m－20，2m－m20或2m2＋3m－20，2m－m20，即m12或m－2，0m2或－2m12，m2或m0，∵m∈N*，∴m＝1.此时f(x)＝x3，x∈R.∵f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．【规律方法】(1)幂函数y＝xα的特点：①系数必须为1；②指数必须为常数.(2)幂函数的单调性:①α0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数；②α0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数.∴12m2或－2m0.【互动探究】1．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·21mmx，求当m为何值时，(1)f(x)是幂函数；(2)f(x)是正比例函数；(3)f(x)是反比例函数；(4)f(x)是二次函数．(3)若f(x)为反比例函数，则m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0⇒m＝－1.(4)若f(x)为二次函数，则m2＋m－1＝2，m2＋2m≠0⇒m＝－1±132.解：(1)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±2.(2)若f(x)为正比例函数，则m2＋m－1＝1，m2＋2m≠0⇒m＝1.考点2幂函数的图象例2：请把如图2-8-3所示的幂函数图象的代号填入下面的表格内．ABCD函数代号①②③④⑤⑥⑦⑧图象代号EFGH图2-8-3①y＝23x；②y＝x－2；③y＝12x；④y＝x－1；⑤y＝13x；⑥y＝43x；⑦y＝12x；⑧y＝53x.ABFECGDHqα＝pα00α1α1p，q都是奇数【规律方法】(1)探讨幂函数图象的分布规律，应先观察图象是否过原点，过原点时α0，否则α0；若α0，再观察图象是上凸还是下凸，上凸时0α1，下凸时α1；最后由x1时，α的值按逆时针方向依次增大得出结论．(2)幂函数y＝xα(α∈R)的图象如下表：qα＝pα00α1α1p为奇数，q为偶数p为偶数，q为奇数（续表）【互动探究】2．(2013年四川乐山一模)下面给出4个幂函数的图象(如)图2-8-4)，则图象与函数的大致对应是(图2-8-4A．①y＝13x；②y＝x2；③y＝12x；④y＝x－1B．①y＝x3；②y＝x2；③y＝12x；④y＝x－1C．①y＝x2；②y＝x3；③y＝12x；④y＝x－1D．①y＝13x；②y＝12x；③y＝x2；④y＝x－1答案：B解析：y＝x2为偶函数，对应②；y＝x12定义域x≥0，对应③；y＝x－1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y＝x3与y＝x13均为奇函数，但y＝x3比y＝x13增长率大，故①对应y＝x3.考点3比较大小例3：若x0是方程12x＝13x的解，则x0属于区间()A.23，1B.12，23C.13，12D.0，13答案：C解析：设f(x)＝12x－13x，f(0)＝10，f13＝1312－1313，由于幂函数y＝13x单调递增，得f13＝1312－13130；f12＝1212－1312，由于指数函数y＝12x单调递减，得f12＝1212－13120.故选C.同而底数不同(即底数为变量)，此时利用幂函数的单调性来比较大小；如果底数相同而指数不同(即指数为变量)，此时利用指数函数的单调性来比较大小；如果两个幂指数、底数全不同，此时需要引入中间变量，常用的中间变量有0，1或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂.注意：指数函数a1时单调递增，0a1时单调递减；而幂函数α0时在第一象限单调递增，α0时在第一象限单调递减.【规律方法】本题表面是考查零点存在性定理，其实质是比较1312，1313，1212的大小.比较两个幂的大小，如果指数相【互动探究】3．设a＝0.64.2，b＝0.74.2，c＝0.65.1，则a，b，c大小关系)B正确的是(A．abcC．bcaB．bacD．cba解析：∵y＝ax，a∈(0,1)时函数是减函数，4.25.1，∴ac；∵y＝xa，a＝4.21，函数是增函数，∵0.70.6，∴ba.∴bac.故选B.●易错、易混、易漏●⊙对幂函数y＝x0理解不透彻例题：已知幂函数f(x)＝223mmx(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于y轴对称，试确定f(x)的解析式．正解：由题意，得m2－2m－3≤0，①|m2－2m－3|是偶数，②m∈Z.③由①，得－1≤m≤3.由②，③，得m＝－1,1,3.当m＝－1和3时，解析式为f(x)＝x0＝1(x≠0)；当m＝1时，解析式为f(x)＝x－4.【失误与防范】一般说来，幂函数f(x)＝223mmxm∈Z的图象与x轴、y轴都无交点，应该马上想到指数小于零，其实函数f(x)＝x0的图象为除掉点(0,1)的直线y＝1(x≠0)，该图象与x轴、y轴也都无交点，且关于y轴对称，完全符合上题，但容易忽略而出错．