三角恒等变换的知识框架

菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升试求3tan10°＋4sin10°的值．【思路点拨】观察式中函数的特征及角的特征：有切有弦，且有数值3以及4.为此采取化异为同，首先采取切化弦．【规范解答】原式＝3sin10°＋4sin10°cos10°cos10°＝3sin10°＋2sin20°cos10°＝3sin30°－20°＋2sin20°cos10°菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升＝3sin30°cos20°－3cos30°sin20°＋2sin20°cos10°＝32cos20°＋12sin20°cos10°＝sin60°＋20°cos10°＝sin80°cos10°＝1.∴原式＝1.菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升(2013·大庆高一检测)已知tan(α＋π4)＝－12(π2＜α＜π)，(1)求tanα的值；(2)求sin2α－2cos2αsinα－π4的值．菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升【解】(1)由tan(α＋π4)＝－12，得1＋tanα1－tanα＝－12，解得tanα＝－3.(2)sin2α－2cos2αsinα－π4＝2sinαcosα－2cos2α22sinα－cosα＝22cosα.∵π2＜α＜π，且tanα＝－3，∴cosα＝－1010.∴原式22×(－1010)＝－255.菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．三角函数式的证明实质上也是化简，是有方向目标的化简；根本原则：由繁到简，消除两端差异，达到证明目的．菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升证明：3sin240°－1cos240°＝32sin10°.【思路点拨】由繁到简，故从左边到右边证明；先把左边通分后分子因式分解，再利用辅助角公式化归到与右边相同．【规范解答】∵左边＝32sin40°2－1cos40°2＝3cos40°2－sin40°2sin240°cos240°＝3cos40°＋sin40°3cos40°－sin40°sin240°cos240°菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升＝4×2232cos40°＋12sin40°32cos40°－12sin40°2sin40°cos40°2＝16sin100°sin20°sin280°＝16sin80°sin20°sin280°＝16sin20°sin80°＝32sin10°cos10°cos10°＝32sin10°＝右边．∴原等式成立．菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升化简：sin(α＋β)cosα－12[sin(2α＋β)－sinβ]．【解】sin(α＋β)cosα－12[sin(2α＋β)－sinβ]＝sin(α＋β)cosα－12[sin(α＋β＋α)－sin(α＋β－α)]＝sin(α＋β)cosα－12[sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)－sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升＝sin(α＋β)cosα－12×2sinαcos(α＋β)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β－α)＝sinβ.菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型：(1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形．这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升(2013·邯郸高一检测)已知向量a＝(sinx,1)，b＝(cosx，－12)，(1)当a⊥b时，求|a＋b|的值；(2)求函数f(x)＝a·(2b－a)＋cos2x的单调区间．【思路点拨】(1)由a·b＝0及|a＋b|＝a＋b2代入坐标求解；(2)由数量积的坐标运算法则化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k形式后再求单调区间．菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升【规范解答】(1)当a⊥b时，|a＋b|＝a2＋2a·b＋b2＝sin2x＋1＋cos2x＋14＝32.(2)f(x)＝2a·b－a2＋cos2x＝2sinxcosx－1－sin2x－1＋cos2x＝sin2x＋cos2x－2＝2sin(2x＋π4)－2，当2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)单调递增，解得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8(k∈Z)；菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升当2kπ＋π2≤2x＋π4≤2kπ＋32π(k∈Z)时，f(x)单调递减，解得kπ＋π8≤x≤kπ＋58π(k∈Z)．∴函数f(x)的单调增区间为[kπ－3π8，kπ＋π8]，k∈Z.单调减区间为[kπ＋π8，kπ＋58π]，k∈Z.菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升已知函数f(x)＝(1＋cosxsinx)sin2x－2sin(x＋π4)·sin(x－π4)．(1)若tanα＝2，求f(α)；(2)若x∈[π12，π2]，求f(x)的取值范围．菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升【解】(1)f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋cos2x＝1－cos2x2＋12sin2x＋cos2x＝12(sin2x＋cos2x)＋12，由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α＝45，cos2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35，所以f(α)＝35.菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升(2)由(1)得f(x)＝12(sin2x＋cos2x)＋12＝22sin(2x＋π4)＋12，由x∈[π12，π2]，得2x＋π4∈[5π12，5π4]，所以sin(2x＋π4)∈[－22，1]，从而f(x)＝22sin(2x＋π4)＋12∈[0，1＋22].菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升三角式的恒等变换是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变换的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升已知sin(α－β2)＝45，cos(α2－β)＝－1213，且α－β2和α2－β分别为第二、第三象限角，求tanα＋β2的值．【思路点拨】先根据α－β2，α2－β的范围求得其正、余弦再求正切值，最后由α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)求解．菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升【规范解答】∵sin(α－β2)＝45，且α－β2为第二象限角，∴cos(α－β2)＝－1－sin2α－β2＝－35.又cos(α2－β)＝－1213，且α2－β为第三象限角，∴sin(α2－β)＝－1－cos2α2－β＝－513.∴tan(α－β2)＝－43，tan(α2－β)＝512，∴tanα＋β2＝tan[α－β2)－(α2－β)]菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升＝tanα－β2－tanα2－β1＋tanα－β2tanα2－β＝－43－5121－43×512＝－6316.菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升已知π2βα3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值．【解】∵π2βα3π4，∴0α－βπ4，πα＋β3π2.∴sin(α－β)＝1－12132＝513.cos(α＋β)＝－1－－352＝－45.菜单新课标·数学必修4知识网络构建专题归纳提升即sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－35·1213＋513·(－45)＝－5665.