搜索
数学建模部分定义概念第一章1.1实践、数学与数学模型一、相关概念（特定对象特定目的特有内在规律）1.原型：客观存在的各种研究对象。既包括有形的对象，也包括无形的、思维中的对象，还包括各种系统和过程等2.模型：为了某个特定的目的，将原型的某一部分信息简缩，提炼而构造的整个原型或其部分或其某一层面的替代物。3.原型与模型的关系：原型是模型的前提与基础，模型是原型的提炼与升华。原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求反映与某些目的有关的那些方面和层次。二、什么是数学模型（MathematicalModel对于现实世界中的一个特定对象，为了一个特定的目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。广义上讲，数学模型是指凡是以相应的客观原型作为背景，加以一级抽象或多级抽象的数学概念、数学式子、数学理论等都叫数学模型。狭义上讲，数学模型是指那些反映特定问题或特定事物的数学符号系统。（我们所指的数学模型是指狭义上的数学模型）数学模型不是原型的复制品，而是为了一定的目的，对原型所作的一种抽象模拟。它用数学算式、数学符号、程序、图表等刻画客观事物的本质属性与内在关系，是对现实世界的抽象、简化而有本质的描述，它源于现实又高于现实。三、什么是数学建模数学建模是指应用数学的方法解决某一实际问题的全过程。包括：（1）对实际问题的较详细的了解、分析和判断;（2）为解决问题所需相关数学方法的选择;（3）针对实际问题的数学描述,建立数学模型;（4）对数学模型的求解和必要的计算;（5）数学结果在实际问题中的验证;（6）将合理的数学结果应用于实际问题之中,从而解决问题。四数学建模流程图（参见教材上册P14）1实际问题2抽象、简化、假设，确定变量和参数3根据某种“定律”或“规律”建立变量和参数间的一个明确的数学关系，即在此简化阶段上构造数学模型4解析地或近似地求解该数学模型5用实际问题的实测数据等来解释、验证该数学模型（若不通过，返回第2步）6投入使用，从而可产生经济、社会效益完美的图画----黄金分割黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1:0.618或1.618:1，即长段为全段的0.618。所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。计算黄金分割最简单的方法:计算斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,...从第二位起相邻两数之比，1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,...的近似值。1.2八步建模法1.问题提出2.量的分析3.模型假设4.模型建立5.模型求解6.模型分析7.模型检验8.模型应用数学建模采用的方法（详见教材P11）1.机理分析法:在对研究对象内部机理分析的基础上,利用建模假设所给出的建模信息或前提条件及相关领域知识、相应的数学工具来构造模型。2.系统识别建模法:对系统内部机理不清楚的情况下,利用建模假设或实际对系统的测试数据所给的系统的输入输出信息及数据,用纯粹的数学方法确定模型形式，借助于概率论和数理统计来辨识参数构造模型。3.仿真建模法:利用各种仿真方法建立数学模型。4.相似类比建模法:借助于相似原理和事物之间的类比关系进行建模的方法，是根据不同研究对象之间的某些相似性（数学相似、物理相似和其他相似）借用移植领域的数学模型老构造数学模型的方法。1.3数学模型的分类（参见教材上册P15）1、按建模的数学方法划分：初等模型、数学规划模型、微分方程模型、差分方程模型、概率统计模型、图论模型、模糊模型和灰色模型等；2、按建模中变量特点划分：确定性模型与随机性模型、静态模型与动态模型、线性模型与非线性模型、离散模型与连续模型；3、按应用领域划分：人口模型、交通模型、环境模型、规划模型、生态模型、资源模型等；4、按建模的目的划分：描述模型、预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等；5、按对问题的了解程度划分：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等；分类5的具体解释：（1）白箱模型(WhiteBox)对系统相当了解，利用系统的机理方程建立起来的数学模型，通常采用机理建模。（2）黑箱(BlackBox)模型对系统并不了解，利用实验得到的输入输出数据来构建系统的等价模型，通常采用统计建模。（3）灰箱(GrayBox)模型介于白箱模型和黑箱模型之间的模型。1.4数学模型特点与建模能力培养一、数学模型的特点1、逼真性和可行性：模型越逼真就越复杂,应用起来费用越高,常与取得的效益不成正比。所以需要对逼真性与可行性进行折衷。2、渐进性：数学模型通常不会是一次就成功的,往往需要反复修正,逐渐完善。3、强健性：对于已建好的数学模型,当观测数据有微小的改变或者模型结构及参数发生微小变化时,模型求解的结果也随之发生微小的变化。4、可转移(移植)性：数学模型是现实对象抽象化产物，它可能与其它领域其它事物有共性。常常好多领域不同事物却共有几乎相同数学模型。5、非预制性：大千世界变化莫测,千姿百态,不能要求把所有的模型做成预制品供我们使用。建镆时遇到的问题往往事先没有答案,因此必须创新,产生新方法、新概念。6、条理性：从建模角度出发,人们对现实对象分析应该全面、深入,更具有条理性。即使建模失败，对解决研究实际问题也是有利的7、技艺性:建模与其说使一门技术,不如说是一种技艺很强的技巧艺术。期间经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉灵感起的作用往往比数学知识更大。人的知识是有限的,想象力是无限的。8、局限性:由于建模时往往会把现实对象简化、近似、假设,因此当模型应用到实际时就必须考虑被忽略的简化因素。于是结论往往是相对的、近似的。另外，由于人类认识能力受科学技术以及数学本身发展水平的限制，至今还有不少实际问题没有建立出有价值的实用的数学模型，如中医诊断等。二、数学建模能力的培养（教材上册P16）（1）数学知识的积累；（2）学好数学模型课，多看、多学数学建模案例；（3）留心各样事物，培养观察能力和用数学解决问题的思想；（4）需要丰富的想象力与敏锐、深刻的洞察力；（5）兴趣是学习的动力，努力培养建模兴趣；（6）与计算机的紧密关联，学会使用相关软件；（7）虚心学习，注重团队意识和团结协作；（8）学会类比，做到“由此及彼和由彼及此”，培养发散思维能力；（9）培养自学能力，能快速获取新知识，并能学以致用；（10）学会从杂乱无章的各种信息中快速挑选收集有用信息，利用图书馆、网络查找相关资料。第二章初等数学模型2.1比例分析法建模比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重，用于反映总体的构成或者结构。数学上表示两个比值相等的式子叫做比例。在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质。求比例的未知项的过程，叫做解比例。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，两种量就叫做正比例的量，他们的关系叫做正比例的关系。如果两种量中，相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。比例在日常生活中的重要应用】比例是最基本、最初等的数学概念之一，日常生活中的许多实际问题所指向的对象都蕴含着比例关系，运用比例关系可以建立数学模型，对实际问题进行描述与求解。例如：若两个物体的特征长度之比为1:λ，则其表面积的比例为1:λ2，其体积的比例是1:λ3。这反映了一些实际对象中包含的变量之间满足的内在规律。（详见教材上册P18）本节研究“商品包装成本的确定问题”的数学建模问题。、2.6图论方法在数学模型中的运用一、图论的起源图论是组合数学的一个分支，起源于1736年欧拉的第一篇关于图论的论文,这篇论文解决了著名的哥尼斯堡七桥问题，从而使欧拉成为图论的创始人。在图中，用点代表各个事物,用边代表各个事物之间的二元关系。因此图是研究集合上二元关系的工具,图论给含有二元关系的系统提供了数学模型,是建立数学模型的重要手段。由于计算机的迅速发展,有力推动了图论的发展,使得图论成为数学领域里发展最快的分支之一。二、相关的图论知识定义(图)图是一个有序二元组G＝{V(G),E(G)},其中V(G)＝{vi}为顶点集,E(G)＝{ek}为边集,V＝V(G)中的元素vi称为顶点,E＝E(G)中的元素ek叫做边。顶点总数记为|V(G)|,边的总数记为|E(G)|。若|V(G)|=n,则称G为n阶图若|V(G)|与|E(G)|均为有限数，,则称G为有限图在有向图中,一条有向边是由两个顶点组成的有序对,有序对通常用尖括号表示。有向边也称为弧(Arc),边的始点称为弧尾(Tail),终点称为弧头(Head)。例如vi,vj表示一条有向边,vi是边的始点(起点),vj是边的终点。因此vi,vj和vj,vi是两条不同的有向边。例1.有向图示例(见右图)给定有向图G＝{V,E}，其中顶点集为V＝{a,b,c,d},边集为E＝{e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}二、相关的图论知识图的每条边都是有没有方向的，则称G为无向图(Undigraph)。无向图中的条称为无向边，均是顶点的无序对，无序对通常用圆括号表示。例:如果(vi,vj)表示一条无向边,则(vi,vj)=(vj,vi)。例2.无向图示例(见右图)给定无向图G＝{V,E}，其中顶点集为：V＝{v1,v2,v3,v4},边集为：E＝{e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}或者E＝{(v1,v1),(v1,v2),(v2,v3),(v3,v2),(v2,v5),(v1,v5),(v4,v5)}定义(无向图)若G的每条边头尾不分，即,称G为无向图。Geuvvu（1）若G是无向图,则0≤e≤n(n-1)/2。称恰有n(n-1)/2条边的无向图称为无向完全图(UndirectedCompleteGraph)。图G的顶点数n和边数e的关系：（2）若G是有向图,则0≤e≤n(n-1)。称恰有n(n-1)条边的有向图称为有向完全图(DirectedCompleteGraph)。例如：下图1中,a=a，e1=〈a,a〉是环；下图2中,v1=v1，e1=(v1,v1)是环。定义4(环)若vi=vj,则ek=(vi,vj)称为环，或回路。图1有向图图2无向图三、最短轨道问题给定连接若干个城市的铁路网,寻找从指定的某城市到其余城市的最短路。解决该问题的数学模型如下设w:E(G)→R,w(e)叫做图G中的边e的权。对任意的A∈V(G),寻找轨道P(A0,A),使得w(P(A0,A))=min{w(A)},A∈Φ,其中Φ是从A0到轨道的集合，w(A)是轨道A上各边权之和。求解该最短路问题的迪克斯设d(A)表示A到A0的距离。(1)令d(A0)=0,d(A)=+∞,A0≠A;S0={A0},i=0；(2)对每个ASi,用min{d(A),d(Ai)+w(AiA)}代替d(A),若Ai+1是使d(A)取最小值的中的顶点(是Si的补集),令Si+1=Si∪{vi+1}；(3)若i=α-1,停止;若iα-1,则由i+1代替i,转(2)。第四章三如何将原问题转化为对偶问题原问题对偶问题1目标函数求maxS目标函数求minZ2目标函数中的系数ci约束条件中的右端项ci3约束条件中的右端常数项bj目标函数中的系数bj4约束条件的系数矩阵A约束条件的系数矩阵AT5约束条件有m个对偶变量有m个6决策变量有n个约束条件有n个7约束条件为≥(≤,=)对偶变量≤(≥,无限制)8决策变量≥(≤,无限制)约束条件为≥(≤,=)对称形式的对偶线性规划问题的矩阵表示原问题0XbAXCX..maxtsS对偶问题0YCYAYb..mintsZ其中T21T2121,,,,,,,,,,mnnyyyxxxcccYXCmmnmmnnbbbbaaaaaaaaa,21212222111211A原问题