2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第三章-第2讲-同角三角函数的基本关系式与诱导公式

第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．2．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.＝tanα.1．同角三角函数关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sinαcosα组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ－α2π＋α2正弦sinα______－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosα______－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα______——口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限2．六组诱导公式－sinαcosα－tanα3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直于x轴于点M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cosα，sinα)，其中cosα＝OM，sinα＝MP.单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在点A的切线与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT.我们把有向线段OM，MP，AT分别叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段OM为余弦线正弦线有向线段MP为有向线段AT为正切线1．cos330°＝(2．sin585°的值为(A.12B．－12C.32D．－32A．－22B.22C．－32D.32)C)A3．若cosα＝35，－π2α0，则tanα＝()A．43B．34C．－43D．－344．已知tanα＝3，则sinα＋cosαsinα－2cosα＝________.C4考点1求三角函数值例1：(2013年大纲)已知角α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝()A．－1213B．－513C.513D.1213解析：cosα＝±25113＝±1213，因为角α是第二象限角，所以cosα＝－1213.故选A.答案：A【规律方法】(1)已知sinα，cosα，tanα三个三角函数值中的一个，就可以求另外两个．但在利用平方关系实施开方时，符号的选择是看α属于哪个象限，这是易出错的地方，应引起重视．而当α的象限不确定时，则需分象限讨论，不要遗漏终边在坐标轴上的情况．(2)同角三角函数的基本关系式反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的性质、变形提供了工具和方法．【互动探究】1．(2013年广东)已知sin5π2＋α＝15，则cosα＝()A．－25B．－15C.15D.25C解析：sin5π2＋α＝sin2π＋π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα＝15.考点2三角函数的化简例2：化简：(1)1－2sin10°cos10°cos10°－1－cos210°；(2)1－sin4α－cos4α1－sin6α－cos6α.解：(1)原式＝sin10°－cos10°2cos10°－|sin10°|＝|sin10°－cos10°|cos10°－sin10°＝cos10°－sin10°cos10°－sin10°＝1.(2)方法一：原式＝cos2α＋sin2α2－cos4α－sin4αcos2α＋sin2α3－cos6α－sin6α＝2cos2α·sin2α3cos2αsin2αcos2α＋sin2α＝23.方法二：原式＝1－cos4α＋sin4α1－cos6α＋sin6α＝1－[cos2α＋sin2α2－2cos2α·sin2α]1－cos2α＋sin2αcos4α－cos2α·sin2a＋sin4α＝1－1＋2cos2α·sin2α1－[cos2α＋sin2α2－3cos2α·sin2α]＝2cos2α·sin2α3cos2α·sin2α＝23.方法三：原式＝1－cos2α1＋cos2α－sin4α1－cos2α·1＋cos2α＋cos4α－sin6α＝sin2α1＋cos2α－sin2αsin2α1＋cos2α＋cos4α－sin4α＝2cos2α1＋cos2α＋cos2α＋sin2αcos2α－sin2α＝2cos2α1＋cos2α＋cos2α－sin2α＝2cos2α3cos2α＝23.【规律方法】化简三角函数式应看清式子的结构特征并作有目的的变形，注意“1”的代换、乘法公式、切化弦等变形技巧，对于有平方根的式子，去掉根号的同时加绝对值号再化简．本题出现了sin4α，sin6α，cos4α，cos6α,应联想到把它们转化为sin2α，cos2α的关系,从而利用1＝sin2α＋cos2α进行降幂解决．【互动探究】2．设函数f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数B解析：f(x)＝－cos2x是周期为π的偶函数．故选B.考点3三角函数的证明例3：求证：tanα·sinαtanα－sinα＝tanα＋sinαtanα·sinα.证明：方法一：右边＝tan2α－sin2αtanα－sinα·tanαsinα＝tan2α－tan2αcos2αtanα－sinα·tanαsinα＝tan2α1－cos2αtanα－sinα·tanαsinα＝tan2αsin2αtanα－sinαtanαsinα＝tanαsinαtanα－sinα＝左边．∴原等式成立．方法二：左边＝tanα·sinαtanα－tanαcosα＝sinα1－cosα，右边＝tanα＋tanαcosαtanαsinα＝1＋cosαsinα＝1－cos2αsinα1－cosα＝sin2αsinα1－cosα＝sinα1－cosα.∵左边＝右边，∴原等式成立．方法三：∵tanα－sinα≠0，tanα·sinα≠0，要证原等式成立，只要证tan2α·sin2α＝tan2α－sin2α成立，而tan2α·sin2α＝tan2α(1－cos2α)＝tan2α－(tanαcosα)2＝tan2α－sin2α，即tan2α·sin2α＝tan2α－sin2α成立，∴原等式成立．【规律方法】证明三角恒等式，可以从左向右证，也可以从右向左证，证明两端等于同一个结果，对于含有分式的还可以考虑应用比例的性质.【互动探究】3．求证：tan2π－αsin－2π－αcos6π－αcosα－πsin5π＋α＝tanα.证明：左边＝sin2π－αcos2π－α·sin－αcos－αcosα－π＋2πsinπ＋α＝sin－α·－sinαcosαcos－αcosπ＋α－sinα＝－sinαcosαcosα·－cosα＝tanα＝右边．∴原等式成立．●难点突破●⊙三角齐次式问题例题：已知3sinα－2cosα＝0，求下列各式的值：(1)cosα－sinαcosα＋sinα＋cosα＋sinαcosα－sinα；(2)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.解：由已知，得tanα＝23.(1)cosα－sinαcosα＋sinα＋cosα＋sinαcosα－sinα＝1－tanα1＋tanα＋1＋tanα1－tanα＝1－231＋23＋1＋231－23＝265.(2)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α＝sin2α－2sinαcosα＋4cos2αsin2α＋cos2α＝tan2α－2tanα＋4tan2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813.【规律方法】已知tanα的值，求形如sincossincos＋－mnmn式子的值时，可利用tanα＝sincos把上式转化为tantan＋－mnmn求值；而对形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子，可把分母看作1，进而将1＝sin2α＋cos2α代入，转化为关于tanα的函数后再求值.【互动探究】4．已知tanα＝－2，求下列各式的值：(1)4sinα－2cosα5cosα＋3sinα；(2)14sin2α＋25cos2α.解：tanα＝－2，则cosα≠0.(1)4sinα－2cosα5cosα＋3sinα＝4tanα－25＋3tanα＝4×－2－25＋3×－2＝10.(2)14sin2α＋25cos2α＝14sin2α＋25cos2αsin2α＋cos2α＝14tan2α＋25tan2α＋1＝14×－22＋25－22＋1＝725.