第18讲-锐角三角函数

第18讲锐角三角函数第18讲┃锐角三角函数考点1锐角三角函数┃考点自主梳理与热身反馈┃1．如图18－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2，BC＝1，则sinA＝________，cosA＝________．图18－11232第18讲┃锐角三角函数2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanB的值是()A.45B.35C.34D.43C第18讲┃锐角三角函数[归纳总结]如图18－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则sinA＝________，cosA＝bc，tanA＝________．图18－2acab第18讲┃锐角三角函数考点2特殊角的三角函数值1．在直角三角形中，若有一个角为30°，那么它所对的直角边等于斜边的________，根据这个定理我们可以得出sin30°＝________．2．在直角三角形中，若有一个角为45°，则此三角形是___________三角形，所以tan45°＝________．一半等腰直角112第18讲┃锐角三角函数[归纳总结]角α三角函数30°45°60°sinα______22______cosα32______12tanα______1312322233第18讲┃锐角三角函数考点3解直角三角形的基本关系1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则下列关系正确的是()A．c＝a·sinAB．c＝a·cosAC．c＝asinAD．c＝acosA2．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是()A．csinA＝aB．bcosB＝cC．atanA＝bD．ctanB＝bCA第18讲┃锐角三角函数[归纳总结]如图18－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.则有下列关系：(1)三边的关系：a2＋b2＝________；(2)角的关系：∠A＋∠B＝________；(3)边与角的关系：sinA＝cosB＝ac；sinB＝cosA＝_____；tanA＝ab.(4)面积关系：S＝________．图18-3c290°bc12ab第18讲┃锐角三角函数考点4解直角三角形的应用1．如图18－4，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h＝6m，迎水斜坡AB＝10m，斜坡的坡角为α，则tanα的值为________．图18－434第18讲┃锐角三角函数2．如图18－5，大楼AD高30m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，则塔高BC为________m.图18－545第18讲┃锐角三角函数[归纳总结]1．仰角和俯角：如图18－6，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线________的角叫仰角；视线在水平线_______的角叫俯角．图18－6上方下方第18讲┃锐角三角函数2．坡度和坡角：如图18－7，坡面的垂直高度(h)和水平宽度(l)的比叫作坡面的________，记作i＝hl.坡面与水平面的夹角叫作_________，坡度与坡角的关系是：i＝hl＝tanα，显然坡度越大，坡角就越大，坡面就越________．图18－7坡度坡脚陡第18讲┃锐角三角函数3．方位角：(1)指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫作方位角．(2)方位角识别时，关键是看该角由哪个主方向向次方向偏离，偏离多少度，则读作主方向偏离次方向多少度，如图18－8，由北向东偏30°读作_____________，由南向东偏50°则读作____________，西南方向是指_______________．图18－8北偏东30°南偏东50°南偏西45°第18讲┃锐角三角函数4．应用解直角三角形知识解题步骤为：(1)审题，弄清仰角、俯角、坡度等概念及题意；(2)画图并构造要求解的直角三角形，对于非直角三角形添加适当的辅助线分割成规则几何图形；(3)选择合适的边角关系式计算，确定结果．第18讲┃锐角三角函数┃考向互动探究与方法归纳┃探究一锐角三角函数例1如图18－9，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为()图18－9A.12B.13C.14D.24B第18讲┃锐角三角函数[解析]旋转后的三角形与原三角形全等，得∠B′＝∠B，将∠B放在以BC为斜边，直角边在网格线上的直角三角形中，∠B的对边为1，邻边为3，tanB′＝tanB＝13.第18讲┃锐角三角函数[中考点金]求三角函数值关键理解三角函数值是指哪两边之比，结合图形分别求出两边，即可求得三角函数值．第18讲┃锐角三角函数变式题[2013·台州]如图18－10，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC＝7，AB＝4，则sinC的值为________．图18－1025第18讲┃锐角三角函数[解析]连接OD，∵AB＝4，∴OA＝OB＝OD＝2，OC＝5.∵CD为⊙O的切线，则∠ODC＝90°，∴sinC＝ODOC＝25.第18讲┃锐角三角函数例2如图18－11，小刚同学在南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE＝21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD.(结果保留根号)图18－11探究二解直角三角形的应用第18讲┃锐角三角函数[解析]在Rt△BEC中，利用等腰直角三角形的性质可求CE，在Rt△ADE中，利用直角三角形边角关系可求DE，故CD＝CE－DE.第18讲┃锐角三角函数解：∵∠CBE＝45°，CE⊥AE，∴CE＝BE＝21，AE＝21＋6＝27.在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，∴DE＝AE×tan30°＝27×33＝93，∴CD＝CE－DE＝21－93，∴该屏幕上端与下端之间的距离为(21－93)米．第18讲┃锐角三角函数[中考点金]解直角三角形在实际中的应用关键是将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理或三角函数解决与边角有关的问题．本题中包含了双直角三角形，关键是通过解直角三角形，求两个直角三角形的边之间的关系．第18讲┃锐角三角函数变式题放风筝是大家喜爱的一种运动．星期天的上午小明在大洲广场上放风筝．如图18－12，他在A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝线AD与水平线的夹角为30°.为了便于观察，小明迅速边向前移动边收线到达了离A处7米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°.已知点A，B，C在同一条直线上，∠ACD＝90°.请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？(本题中风筝线均视为线段，2≈1.414，3≈1.732，最后结果精确到0.1米)图18－12第18讲┃锐角三角函数解：设BC＝CD＝x米，依题意得7＋x＝3x，解得x＝7（3＋1）2.∴AD－BD＝2x－2x＝(2－2)×7（3＋1）2≈5.6(米)．答：小明此时所收回的风筝线的长度是5.6米．第18讲┃锐角三角函数┃考题自主训练与名师预测┃1．[2012·滨州]把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值()A．不变B．缩小为原来的13C．扩大为原来的3倍D．不能确定A第18讲┃锐角三角函数2．[2013·孝感]式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是()A．23－2B．0C．23D．2B[解析]原式＝2×32－1－(3－1)＝3－1－3＋1＝0.故选B.第18讲┃锐角三角函数3．[2013·邵阳]在△ABC中，若sinA－12＋cosB－122＝0，则∠C的度数是()A．30°B．45°C．60°D．90°D[解析]∵sinA－12＋cosB－122＝0，∴sinA＝12，cosB＝12，∴∠A＝30°，∠B＝60°，则∠C＝180°－30°－60°＝90°.故选D.第18讲┃锐角三角函数4．[2012·内江]如图18－13所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为()图18－13A.12B.55C.1010D.255B第18讲┃锐角三角函数[解析]欲求sinA，需先寻找∠A所在的直角三角形，而图形中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD(如右图所示)，恰好可证得CD⊥AB，于是有sinA＝CDAC＝210＝55.第18讲┃锐角三角函数5．[2013·乐山]如图18－14，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sinα的值为()图18－14A.45B.54C.35D.53A第18讲┃锐角三角函数6．[2013·衢州]如图18－15，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB)为1.6m，则这棵树的高度为(结果精确到0.1m，3≈1.73)()A．3.5mB．3.6mC．4.3mD．5.1m图18－15D第18讲┃锐角三角函数[解析]设CD＝x，在Rt△ACD中，CD＝x，∠CAD＝30°，则AD＝3x.在Rt△CED中，CD＝x，∠CED＝60°，则ED＝33x，由题意得，AD－ED＝3x－33x＝4，解得x＝23，则这棵树的高度＝23＋1.6≈5.1(m)．第18讲┃锐角三角函数7．[2013·安顺]在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝43，BC＝8，则△ABC的面积为________．24[解析]∵tanA＝BCAC＝43，∴AC＝6，∴△ABC的面积为12×6×8＝24，故答案为24.第18讲┃锐角三角函数8．[2013·河池]如图18－16，在△ABC中，AC＝6，BC＝5，sinA＝23，则tanB＝________．图18－1643第18讲┃锐角三角函数9．如图18－17，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽5m，坝高20m，斜坡AB的坡度为1∶2.5，斜坡CD的坡度为1∶2，则坝底宽AD等于________m.图18－1795第18讲┃锐角三角函数[解析]作CF⊥AD，BE⊥AD，垂足分别为点F，E，则四边形BCFE是矩形．∵BC＝EF＝5，BE＝CF＝20，斜坡AB的坡度为1∶2.5，∴AE＝2.5×BE＝50，FD＝2CF＝40.∴AD＝AE＋EF＋FD＝95(m)．第18讲┃锐角三角函数10．[2013·孝感]如图18－18，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，则建筑物CD的高度为________m(结果不作近似计算)．图18－18123第18讲┃锐角三角函数[解析]过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形，根据题意得∠ACB＝∠β＝60°，∠ADE＝∠α＝30°，BC＝18m，∴DE＝BC＝18m，CD＝BE.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝18×tan60°＝183(m)；在Rt△ADE中，AE＝DE·tan∠ADE＝18×tan30°＝63(m)，∴CD＝BE＝AB－AE＝183－63＝123(m)．故答案为123.第18讲┃锐角三角函数11．[2013·东营]计算：23－1＋(π－3.14)0－2sin60°－12＋|1－33|.解：原式＝32＋1－2×32－23－1－33＝32＋1－3－23－1＋33＝32.第18讲┃锐角三角函数12．如图18－19，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝12，点D在BC上，且BD＝AD，求AC的长和cos∠ADC的值．图18－19第18讲┃锐角三角函数解：∵在Rt△ABC中，BC＝8，tanB＝12，tanB＝ACBC，∴AC＝BC·tanB＝4.设AD＝x，