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2.4抛物线同步练测建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线2.抛物线x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为（）A.B.C.D.3．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C.115D.37164.圆心在抛物线22yx=（0y）上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是（）A.221204xyxy+---=B.22210xyxy++-+=C.22210xyxy+--+=D.221204xyxy+--+=二、填空题（每小题5分，共15分）5.已知圆抛物线的准线为l，设抛物线上任一点P到直线l的距离为m，则m+｜PC｜的最小值为.6．若直线l过定点M(1,2)且与抛物线y＝2x2有且仅有一个公共点，则直线l的方程为．7.探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60灯深40光源在抛物线的焦点处，则光源放置位置为灯轴上距顶点处.三、解答题(共65分)8.（15分）抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求该抛物线的方程9.（15分）已知抛物线方程为标准方程，焦点在y轴上，抛物线上一点M(a，－4)到焦点F的距离为5，求抛物线的方程和a的值10.（15分）正方形的一条边在直线上，顶点、在抛物线上，求正方形的边长11.（20分）已知抛物线上两个动点及一个定点是抛物线的焦点，且、、成等差数列，线段的垂直平分线与轴交于一点．（1）求点的坐标（用表示）；（2）过点与垂直的直线交抛物线于两点，若求△的面积．一、选择题1.D解析：由题意知，点P到点(2,0)的距离与点P到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，故选D.2.B解析：=x的准线为x=-，焦点为(，0)，设由抛物线定义知=2，∴=2-=.由=，得=±72.3.A解析：∵直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，∴点P到直线l2的距离d2＝|PF|(F(1,0)为抛物线的焦点)，∴点P到直线l1、l2的距离之和的最小值为点F到直线l1的距离|4×1－3×0＋6|32＋42＝2，故选A.4.D解析：抛物线的焦点坐标为由圆心在抛物线上，且与轴和该抛物线的准线都相切以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标即圆心是半径长是1，故所求圆的方程为221204xyxy+--+=．二、填空题5.解析：设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，当C、P、F三点共线时，m+｜PC｜取得最小值｜CF｜，即＝.6.x＝1或4x－y－2＝0解析：当直线l的斜率不存在，即直线l的方程是x＝1时，显然该直线与抛物线y＝2x2只有一个公共点，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是y－2＝k(x－1)，由22(1),2ykxyx消去y得2x2－kx＋(k－2)＝0，Δ＝k2－8(k－2)＝0，k＝4，所以直线l的方程是y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.综上所述，直线l的方程是x＝1或4x－y－2＝0.7解析：以灯轴所在直线为轴，顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线方程为点在抛物线上，所以所以所以因此，光源的位置为灯轴上距顶点cm处.三、解答题8.解：依题意，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则直线方程为y＝－x＋12p.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，过A、B两点分别作准线的垂线，垂足分别为点C、D，则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋p2＋x2＋p2，即x1＋x2＋p＝8.①又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由y＝－x＋12p，y2＝2px，消去y，得x2－3px＋p24＝0，所以x1＋x2＝3p.将其代入①得p＝2，所以所求抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.综上，所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x.9.解：∵抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，∴设抛物线方程为x2＝2py(p≠0)．又点M(a，－4)在抛物线上，且与焦点F的距离为5，∴p0且－2p＋4＝5.∴p＝－2，即抛物线方程为x2＝－4y.将点M(a，－4)代入方程，可得a＝±4.10.解：设直线的方程为,由消去得设,,则,,所以211k+21112()4yyyy+-28b-.又与的距离42b-,由四边形为正方形有28b-42b-,解得或所以正方形的边长为32或52.11.解：（1）设、由点在抛物线上，得①由、、成等差数列得得线段的垂直平分线方程为1212012().2yyxxyxxyy+--=---令得yyyyyyxxxxxx22121212001212.22()+--?=+--②由①②得所以．（2）由2，得．由抛物线的对称性，可设在第一象限，所以．直线由得(18,12),(2,4),PQ-所以△的面积是64