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课时提升作业(十四)双曲线及其标准方程(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·长春高二检测)双曲线-=1的焦距为()A.B.2C.4D.8【解析】选D.由方程-=1,得a2=9,b2=7,所以c2=a2+b2=16,即c=4,所以焦距2c=8.2.“mn0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线,则有m0,n0,故mn0,若m·n0,则m0,n0或m0,n0.故选B.3.(2014·南昌高二检测)设双曲线-=1上的点P到点(4,0)的距离为10,则点P到点(-4,0)的距离为()A.16B.16+2C.10+2或10-2D.16或4【解析】选C.由-=1,得a2=7,b2=9,所以c2=a2+b2=16,c=4,a=,所以F2(4,0)和F1(-4,0)为双曲线的焦点.由||PF1|-|PF2||=2a=2,故|PF1|=10+2或10-2.4.(2014·济宁高二检测)如图,△ABC外接圆半径R=,∠ABC=120°,BC=10,弦BC在x轴上且y轴垂直平分BC边,则过点A且以B,C为焦点的双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.由正弦定理得=2R,所以|AC|=2××=14,由余弦定理得|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB||BC|cos∠ABC,即|AB|2+10|AB|-96=0,解得|AB|=6,依题意设双曲线的方程为-=1,则|BC|=2c=10,|AC|-|AB|=2a=14-6=8,所以c=5,a=4,则b2=c2-a2=9,因此所求双曲线的方程为-=1.5.已知△ABP的顶点A,B分别为双曲线C:-=1的左、右焦点,顶点P在双曲线C上,则的值等于()A.B.C.D.【解题指南】使用△ABP中的正弦定理.【解析】选D.在△ABP中,根据正弦定理得=.由条件可知,c2=16+9=25,所以|AB|=2c=10,且||PB|-|PA||=2a=8,所以===.6.(2014·宿州高二检测)过双曲线-=1(a,b0)的左焦点F1,作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P,切点为T,PF1的中点M在第一象限,则以下结论正确的是()A.b-a=|MO|-|MT|B.b-a|MO|-|MT|C.b-a|MO|-|MT|D.b-a与|MO|-|MT|的大小不确定【解析】选A.设F2为双曲线的右焦点,连PF2,因M为PF1中点,故|MO|=|PF2|=(|PF1|-2a)=|PF1|-a=|MF1|-a,|MO|-|MT|=|MF1|-|MT|-a=|F1T|-a.连OT,则△F1OT为直角三角形,且|OT|=a,|OF1|=c,所以|F1T|==b,故|MO|-|MT|=b-a.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知点F1,F2分别是双曲线-=1(a0)的左、右焦点,P是该双曲线上的一点,且|PF1|=2|PF2|=16,则△PF1F2的周长是.【解析】因为|PF1|=2|PF2|=16,所以|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a,所以a=4.又因为b2=9,所以c2=25,所以2c=10.所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.答案:34【举一反三】本题条件不变,则△PF1F2的面积是.【解析】因为|PF1|=2|PF2|=16,所以|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a.所以a=4,又因为b2=9,所以c2=25,所以2c=10,在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2===.所以sin∠F1PF2==,所以=|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=×16×8×=.答案:8.(2014·唐山高二检测)已知P是双曲线-=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,则|PF2|的值为.【解析】由条件知a2=64,即a=8,c2=b2+a2=100,c=10,所以双曲线右支上的点到左焦点F1的最短距离a+c=1817,故点P在双曲线左支上.所以|PF2|-|PF1|=2a=16,即|PF2|=16+|PF1|=33.答案:33【误区警示】本题易直接利用定义求解,忽视右支上的点到左焦点的最短距离为a+c,而出现错误结论|PF2|=1或|PF2|=33.9.(2014·双鸭山高二检测)已知双曲线-=1(a0,b0)的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,)在双曲线上,则双曲线方程为______________.【解析】|PF1|==4,|PF2|==2,|PF1|-|PF2|=2=2a,所以a=,又c=2,故b2=c2-a2=2,所以双曲线的方程为-=1.答案:-=1【变式训练】已知双曲线上两点P1,P2的坐标分别为(3,-4),,求双曲线的方程.【解析】设所求双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB0),依题意有解得故所求双曲线方程为-=1.三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图,已知双曲线中c=2a,F1,F2为左、右焦点,P是双曲线上的点,∠F1PF2=60°,=12.求双曲线的标准方程.【解析】由题意可知双曲线的标准方程为-=1.由于||PF1|-|PF2||=2a,在△F1PF2中,由余弦定理得cos60°==,所以|PF1|·|PF2|=4(c2-a2)=4b2,所以=|PF1|·|PF2|·sin60°=2b2·=b2,从而有b2=12,所以b2=12,c=2a,结合c2=a2+b2,得a2=4.所以双曲线的标准方程为-=1.11.双曲线-=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上.若PF1⊥PF2,求点P到x轴的距离.【解题指南】这是一道典型的与焦点三角形有关的问题.可设点P(x0,y0),则|y0|就是点P到x轴的距离,故只需求出点P的纵坐标即可.【解析】设P点为(x0,y0),而F1(-5,0),F2(5,0),则=(-5-x0,-y0),=(5-x0,-y0).因为PF1⊥PF2,所以·=0,即(-5-x0)(5-x0)+(-y0)·(-y0)=0,整理,得+=25①.又因为P(x0,y0)在双曲线上,所以-=1②.联立①②,得=,即|y0|=.因此点P到x轴的距离为.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.若方程-=1表示双曲线,则实数m的取值范围是()A.m≠1且m≠-3B.m1C.m-3或m1D.-3m1【解析】选C.由(m-1)(m+3)0,得m1或m-3.【举一反三】若方程-=1表示焦点在x轴上的双曲线,则实数m的取值范围是()【解析】选B.由已知得得m1.2.(2014·太原高二检测)设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,有·=0,则|+|=()A.B.2C.D.2【解析】选B.因为·=0,所以PF1⊥PF2,即△PF1F2为直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2)2=40,|+|====2.3.(2014·济宁高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为()A.B.C.D.【解析】选B.因为||PF1|-|PF2||=2,所以|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4,所以|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|·|PF2|,由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=2|PF1|·|PF2|cos60°,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|·|PF2|,又a=1,b=1,所以c==,所以|F1F2|=2c=2,所以4+2|PF1||PF2|=|PF1|·|PF2|+8,所以|PF1|·|PF2|=4.设P到x轴的距离为|y0|,=|PF1||PF2|sin60°=|F1F2|·|y0|,所以×4×=×2|y0|,所以y0==.4.(2014·长沙高二检测)已知P为双曲线-=1(a0,b0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I是△PF1F2的内心,若=+λ成立,则λ的值为()A.B.C.D.【解析】选B.△IPF1,△IPF2,△IF1F2的高均为△PF1F2内切圆的半径,故|PF1|·r=|PF2|·r+λ×|F1F2|r,所以|PF1|=|PF2|+λ|F1F2|,即|PF1|-|PF2|=λ|F1F2|,所以2a=λ×2c,λ==.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·黄石高二检测)已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),点P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值是.【解析】由双曲线-=1,得c=4,所以左焦点F(-4,0),右焦点F′(4,0),由双曲线的定义得:|PF|-|PF′|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|≥4+|AF′|=4+=9,此时P为AF′与双曲线的交点,即|PF|+|PA|的最小值为9.答案:96.(2014·杭州高二检测)已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上一点,若·=0,||·||=2,则该双曲线的方程是.【解析】设双曲线的方程为-=1,由题意得||MF1|-|MF2||=2a,|MF1|2+|MF2|2=(2)2=20,又因为||·||=2,所以|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|=4a2,即20-2×2=4a2,所以a2=4,b2=c2-a2=5-4=1,所以双曲线的方程为-y2=1.答案:-y2=1三、解答题(每小题12分,共24分)7.当0°≤α≤180°时,方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲线怎样变化?【解题指南】根据cosα的取值,对角α分五类进行讨论,由直线、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状.【解析】(1)当α=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=±1.(2)当0°α90°时,方程为+=1.①当0°α45°时,0,它表示焦点在y轴上的椭圆.②当α=45°时,它表示圆x2+y2=.③当45°α90°时,0,它表示焦点在x轴上的椭圆.(3)当α=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=±1.(4)当90°α180°时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.(5)当α=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.8.某部队进行军事演习,一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A,B,C的报告:正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声,正东观测点听到爆炸声的时间比其他两个观测点晚4s,已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该枚炮弹的袭击位置.(声音的传播速度为340m/s,相关各点均在同一平面内)【解析】如图,以指挥中心为原点,正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).设P(x,y)为炮弹的袭击位置,则|PB|-|PA|=340×4|AB|,由双曲线定义,知点P在以A,B为焦点的双曲线的左支上,且a=680,c=1020,所以b2=10202-6802=5×3402.所以双曲线方程为-=1(x≤-680).①又|PA|=|PC|,因此P在直线y=-x上,把y=-x代入①式,得x≈-1521.所以P(-1521,1521),|OP|=1521(m).故该枚炮弹的袭击位置在北偏西45°,距指挥中心1521m处.