东北育才学校2016-2017年高三一模数学(理)试题及答案

开始结束输出是否0,0SSk?2SkSS22kkk开始结束输出是否0,0SSk?2SkSS22kkk东北育才学校高中部2017届高三第一次模拟数学试题（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.1.已知集合2{|160}Axx，{5,0,1}B，则A.ABB．BAC．{0,1}ABD．AB2.复数ii-1)1(2等于A．i1B．i1C．i1D．i13.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出k的值是6，则输入的整数0S的可能值为A.5B.6C.8D.154.已知直线1sincos:yxl,且lOP于P,O为坐标原点,则点P的轨迹方程为A．122yxB．122yxC．1yxD．1yx5.函数xexfxln)(在点))1(,1(f处的切线方程是A.)1(2xeyB.1exyC.)1(xeyD.exy6.“等式)2sin()sin(成立”是“、、成等差数列”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件7.在各项均为正数的等比数列na中，21a，542,2,aaa成等差数列，nS是数列na的前n项的和，则410SSA.1008B.2016C.2032D.40328.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A．90B．92C．98D．1049.半径为4的球面上有DCBA、、、四点，ADACAB、、两两互相垂直，则ADBACDABC、、面积之和的最大值为A．8B．16C．32D.6410.设等差数列na的前n项和为nS，若0,0109SS，则993322122,2,2aaaa，中最大的是A．12aB．552aC．662aD．992a11.已知函数)()(()(321xxxxxxxf）（其中321xxx），)12sin(3)(xxxg，且函数)(xf的两个极值点为）（，．设2,23221xxxx，则A．)()()()(ggggB．)()()()(ggggC．)()()()(ggggD．)()()()(gggg12.设双曲线)0,0(12222babyax的右焦点为F，过点F作x轴的垂线交两渐近线于点BA,两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若)ROBOAOP，（，8522，则双曲线的离心率为（）A．332B．553C．223D．89第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.若nS是数列na的前n项的和，且762nnSn，则数列na的最大项的值为___________.14.设221(32)axxdx,则二项式261()axx展开式中的第4项为___________.15.已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F，若P为劣弧EF上的动点，则PCPD的最小值为___________.16.已知函数xxaxf22)(1在]3,21[上单调递增，则实数a的取值范围_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）已知函数))(12(sin2)62sin(3)(2Rxxxxf（I）求函数)(xf的最小正周期；（Ⅱ）求使函数)(xf取得最大值的x的集合．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCDP-中，底面ABCD是菱形，60DAB，,1,ADPDABCDPD平面点,EF分别为AB和PD中点.(Ⅰ)求证：直线PECAF平面//；(Ⅱ)求PC与平面PAB所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．（I）若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；（II）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“极安全”的人数，求的分布列及数学期望．20.（本小题满分12分）FEBDCAP如图，已知直线1:myxl过椭圆1:2222byaxC的右焦点F，抛物线：yx342的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于BA、两点，点BFA、、在直线4xg：上的射影依次为点EKD、、．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且BFMBAFMA21，，当m变化时，探求21的值是否为定值？若是，求出21的值，否则，说明理由.21.（本小题满分12分）设xm和xn是函数21()ln(2)2fxxxax的两个极值点,其中mn,aR.(Ⅰ)求()()fmfn的取值范围;(Ⅱ)若12aee,求()()fnfm的最大值.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，已知⊙O的半径长为4，两条弦BDAC,相交于点E，若34BD，DEBE，E为AC的中点，AEAB2.(Ⅰ)求证：AC平分BCD；(Ⅱ)求ADB的度数.23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为sin3cos2yx（其中为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为01sincos.(Ⅰ)分别写出曲线1C与曲线2C的普通方程；(Ⅱ)若曲线1C与曲线2C交于BA,两点，求线段AB的长.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数|12|)(xxf..ABCDEO.ABCDEO(Ⅰ)求不等式2)(xf的解集；(Ⅱ)若函数)1()()(xfxfxg的最小值为a，且)0,0(nmanm，求nnmm1222的最小值.东北育才高中部第三次模拟数学（理科）答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.C2.D3.C4.A5.C6.B7.B8.D9.C10.B11.D12.A二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.1214.31280x15.52516.[﹣1，1]三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(Ⅰ)f(x)=3sin(2x－π6)+1－cos2(x－π12)=2[32sin2(x－π12)－12cos2(x－π12)]+1=2sin[2(x－π12)－π6]+1=2sin(2x－π3)+1∴T=2π2=π(Ⅱ)当f(x)取最大值时,sin(2x－π3)=1,有2x－π3=2kπ+π2即x=kπ+5π12(k∈Z)∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+5π12,(k∈Z)}.18.解：(Ⅰ)证明：作FM∥CD交PC于M.∵点F为PD中点，∴CDFM21.…………2分∵21k，∴FMABAE21，∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，……4分∵AFPECEMPEC平面，平面，MFEBACDP∴直线AF//平面PEC.……………6分(Ⅱ)60DAB，DEDC.如图所示，建立坐标系，则P(0,0,1),C(0,1,0),E(32,0,0),A(32，12，0)，31(,,0)22B，∴31,,122AP，0,1,0AB.…8分设平面PAB的一个法向量为,,nxyz.∵0nAB，0nAP，∴002123yzyx，取1x，则32z，∴平面PAB的一个法向量为3(1,0,)2n.…………………………10分设向量nPC与所成角为，∵(0,1,1)PC，∴3422cos14724nPCnPC，∴PC平面PAB所成角的正弦值为4214..…………………………12分19.FEBACDyzxP20.解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，抛物线的焦点坐标，∴∴b2=3∴a2=b2+c2=4∴椭圆C的方程（Ⅱ）易知m≠0，且l与y轴交于，设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）由∴△=（6m）2+36（3m2+4）=144（m2+1）＞0∴又由∴同理∴∵∴所以，当m变化时，λ1+λ2的值为定值；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2）方法1）∵当时，==∴点在直线lAE上，同理可证，点也在直线lBD上；∴当m变化时，AE与BD相交于定点方法2）∵=∴kEN=kAN∴A、N、E三点共线，同理可得B、N、D也三点共线；∴当m变化时，AE与BD相交于定点．解:函数()fx的定义域为(0,),21(2)1()(2)xaxfxxaxx.依题意,方程2(2)10xax有两个不等的正根m,n(其中mn).故2(2)40020aaa,并且2,1mnamn.所以,221()()ln()(2)()2fmfnmnmnamn2211[()2](2)()(2)1322mnmnamna故()()fmfn的取值范围是(,3)(Ⅱ)解:当12aee时,21(2)2aee.若设(1)nttm,则222()11(2)()22mnamntemnte.于是有111()(1)0tetetetete222211()()ln()(2)()ln()()()22nnfnfmnmanmnmnmnmmm2222111ln()ln()ln()22211ln()2nnnmnnmnmmmmnmmnttt构造函数11()ln()2gtttt(其中te),则222111(1)()(1)022tgtttt.所以()gt在[,)e上单调递减,1()()122egtgee.故()()fnfm的最大值是1122ee22.（本小题满分10分）解：（1）由E为AC的中点，AEAB2得ABACAEAB2又CABBAEABE∽ACBACBABE又ABEACDACBACD故AC平分BCD………………5分（2）连接OA，由点A是弧BAD的中点，则BDOA，设垂足为点F，则点F为弦BD的中点，32BF连接OB，则2)32(42222BFOBOF，224OFOAAF，60,2142cosAOBOBOFAOB3021AOBADB………………10分.ABCDEOF.ABCDEOF23.（本小题满分10分）解：（1）曲线1C134:22yx，………………2分曲线2C：01yx………………4分（2）联立1340122yxyx，得08872xx，设),(),,(2211yxByxA，则78,782121xxxx于是7244)(2112122121xxxxxxAB.故线段AB的长为724.………………10分24.（本小题满分10分）解：（1）由2)(xf知2|12|x，于是2122x，解得2321x，故不等式2)(xf的解集为23,21；……………………3分（2）由条件得2|)32(12||32||12|)(xxxxxg，当且仅当23,21x时，其