搜索
课时提升作业(五)充要条件的应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·郑州高二检测)在△ABC中,“AB”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.在△ABC中,AB⇔ab.【举一反三】本题中“AB”若换为“sinAsinB”,其结论又如何呢?【解析】选C.在△ABC中,由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB,因此,ab⇔sinAsinB.2.(2014·荆门高二检测)钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题,根据互为逆否命题的真假一致得到:“好货不便宜”是真命题.所以“好货”⇒“不便宜”,但“不便宜”“好货”,所以“不便宜”是“好货”的必要不充分条件.3.“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】由于“a≠1或b≠2”推“a+b≠3”不方便判断真假,所以利用原命题与逆否命题的真假等价性,转化到逆否命题的真假判断上来,从而使问题易于解决.【解析】选B.记p:a≠1或b≠2,q:a+b≠3,q:a+b=3,p:a=1且b=2,因为qp但p⇒q,所以q是p的必要不充分条件,即p是q的必要不充分条件.故选B.4.(2014·北京高考)设a,b是实数,则“ab”是“a2b2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】利用不等式的性质验证充分性与必要性.【解析】选D.“ab”推不出“a2b2”,例如,2-3,但49;“a2b2”也推不出“ab”,例如,94,但-32.5.(2014·杭州高二检测)若a,b都是实数,则“-0”是“a2-b20”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.-0⇔⇔ab≥0⇒a2b2,但a2b2ab≥0,如a=-2,b=-1,故-0是a2-b20的充分不必要条件.6.(2014·武汉高二检测)不等式1的解集记为p,关于x的不等式x2+(a-1)x-a0的解集记为q,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是()A.(-2,-1]B.[-2,-1]C.(-∞,-2]∪[-1,+∞)D.(-∞,-2)∪(-1,+∞)【解析】选A.由题意知p:x2或x1;而x2+(a-1)x-a0,可化为(x+a)(x-1)0,若-a1,则q:x1或x-a.由p是q的充分不必要条件.如图得1≤-a2即-2a≤-1,若-a≤1,则q:x-a或x1.由p是q的充分不必要条件,如图得,-a=1,综上得:-2a≤-1.【变式训练】已知命题p:1;命题q:(x+a)(x-1)0,若p是q的充要条件,则a的值为()A.0B.-1C.1D.2【解析】选C.因为1⇔0⇔-1x1,又因为p⇔q,所以(x+a)(x-1)0的解是-1x1,故a=1.[来源:Zxxk.Com]二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·南昌高二检测)若p:x2-10,q:(x+1)(x-2)0,则p是q的条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”其中一个).【解题指南】化简p与q,判断q是p的什么条件即可.【解析】p:x2-10⇔x21⇔x1或x-1,q:(x+1)(x-2)0⇔x2或x-1,故q⇒p,但pq,[来源:Zxxk.Com]所以q是p的充分不必要条件,所以p是q的充分不必要条件.答案:充分不必要8.已知条件p:|x-1|a和条件q:2x2-3x+10,则使p是q的充分不必要条件的最小整数a=________.【解析】依题意a0.由条件p:|x-1|a得x-1-a,或x-1a,所以x1-a,或x1+a.由条件q:2x2-3x+10,得x,或x1.要使p是q的充分不必要条件,即“若p,则q”为真命题,逆命题为假命题,应有解得a≥.令a=1,则p:x0,或x2,此时必有x,或x1.即p⇒q,反之不成立.答案:1【变式训练】设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=.【解析】一元二次方程x2-4x+n=0有实数根⇔(-4)2-4n≥0⇔n≤4.又n∈N+,则n=4时,方程x2-4x+4=0,有整数根2;n=3时,方程x2-4x+3=0,有整数根1,3;n=2时,方程x2-4x+2=0,无整数根;n=1时,方程x2-4x+1=0,无整数根.所以n=3或n=4.答案:3或49.已知p是r的充分条件而不是必要条件,s是r的必要条件,q是r的充分条件,q是s的必要条件.现有下列命题:①s是q的充要条件;②p是q的充分条件而不是必要条件;③r是q的必要条件而不是充分条件;④p是s的必要条件而不是充分条件;⑤r是s的充分条件而不是必要条件.则正确命题序号是.【解析】由p是r的充分条件而不是必要条件,可得p⇒r,由s是r的必要条件可得r⇒s,由q是r的充分条件得q⇒r,由q是s的必要条件可得s⇒q,故可得推出关系如图所示,据此可判断命题①②④正确.答案:①②④【变式训练】已知p,q,r是三个命题,若p是r的充要条件且q是r的必要条件,那么q是p的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.p是r的充要条件且q是r的必要条件,故有p⇔r⇒q,即p⇒q,qp,所以q是p的必要不充分条件.三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·贵阳高二检测)命题p:x0,y0,命题q:xy,,则p是q的什么条件?【解析】p:x0,y0,则q:xy,成立;反之,由xy,⇒0,因y-x0,得xy0,即x,y异号,又xy,得x0,y0.所以“x0,y0”是“xy,”的充要条件.11.已知a,b,c均为实数,求证ac0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【证明】①充分性.若ac0,则Δ=b2-4ac0.所以方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根,设其两根为x1,x2,因为ac0,所以x1·x2=0,即x1,x2的符号相反.所以方程有一个正根和一个负根.②必要性.若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,设其两根为x1,x2,不妨设x10,x20,则x1·x2=0,所以ac0.由①②知ac0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·大庆高二检测)已知a,b∈R,则“ab”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.因为ab⇔,所以ab是的充要条件.2.(2014·珠海高二检测)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是()A.x=-B.x=-1C.x=5D.x=0【解析】选D.a⊥b⇔a·b=0,又因为a·b=(x-1,2)·(2,1)=2(x-1)+2×1=2x,所以x=0,故选D.3.函数f(x)=a+sinx+cosx有零点的充要条件为()A.a≤2B.a≥-2C.-2a2D.-2≤a≤2【解析】选D.函数f(x)=a+sinx+cosx有零点⇔方程a+sinx+cosx=0有实数根⇔方程-a=sinx+cosx有实数根,由于-a=sinx+cosx=2sin(x+60°),所以-2≤-a≤2,即-2≤a≤2.【举一反三】本题改为函数没有零点的充要条件为.【解析】函数f(x)=a+sinx+cosx没有零点⇔方程a+sinx+cosx=0没有实数根⇔方程-a=sinx+cosx没有实数根.由于-a=sinx+cosx=2sin(x+60°),所以-2≤-a≤2,即-2≤a≤2.所以函数f(x)=a+sinx+cosx没有零点的充要条件为a-2或a2.答案:a-2或a24.已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论正确的是()①Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件;②Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件;[来源:Z.xx.k.Com]③Δ=b2-4ac0是这个方程有实根的必要条件;④Δ=b2-4ac0是这个方程没有实根的充要条件.A.③④B.②③C.①②③D.①②④【解题指南】可利用Δ=b2-4ac的值判断方程根的情况,Δ=0方程有两相等实根;Δ0方程有两不等实根;Δ0方程无实根.【解析】选D.①对,Δ≥0⇔方程ax2+bx+c=0有实根;②对,Δ=0⇒方程ax2+bx+c=0有实根;③错:Δ0⇒方程ax2+bx+c=0有实根,但ax2+bx+c=0有实根Δ0;④对,Δ0⇔方程ax2+bx+c=0无实根,故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·天津高二检测)已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0,则l1∥l2的充要条件是a=.【解析】由1×3-a×(a-2)=0得,a=3或-1,而a=3时,两条直线重合,所以a=-1.答案:-1【举一反三】本题中“l1∥l2”若换为“l1⊥l2”,其结论又如何呢?【解析】因为l1⊥l2,所以1×(a-2)+3a=0,所以a=.6.数列{an}既是等差数列又是等比数列的充要条件为.【解析】依题意,an+1-an=d,且=q(d,q为常数),对一切正整数n都成立,则qan-an=d,所以an(q-1)=d对一切正整数n都成立,故d=0,q=1,数列{an}为常数列.由于an=0不是等比数列,所以数列{an}既是等差数列又是等比数列的充要条件是数列{an}是非零常数列.答案:数列{an}为非零常数列三、解答题(每小题12分,共24分)7.求函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数的充要条件.【解题指南】解答本题需对a分a=0和a≠0两种情况求解.[来源:Z_xx_k.Com]【解析】当a=0时,f(x)=-2x+2,显然在(-∞,4]上是减函数,当a≠0时,f(x)为二次函数,其图象是抛物线,对称轴方程为x==-1,若f(x)在(-∞,4]上为减函数,则有即0a≤,综上可知,当0≤a≤时,f(x)在(-∞,4]上为减函数,反之,当f(x)在(-∞,4]上单调递减时,0≤a≤.所以函数f(x)在区间(-∞,4]上为减函数的充要条件是0≤a≤.8.(2014·深圳高二检测)已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)2+c,探究{an}是等差数列的充要条件.【解析】当{an}是等差数列时,因为Sn=(n+1)2+c,所以当n≥2时,Sn-1=n2+c,所以an=Sn-Sn-1=2n+1,所以an+1-an=2为常数.又a1=S1=4+c,所以a2-a1=5-(4+c)=1-c,因为{an}是等差数列,所以a2-a1=2,所以1-c=2.所以c=-1,反之,当c=-1时,Sn=n2+2n,可得an=2n+1(n≥1,n∈N*)为等差数列,所以{an}为等差数列的充要条件是c=-1.[来源:Z*xx*k.Com]