北京市海淀区2012届高三上学期期末考试数学（理）试题

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数52i=+()（A）2i-（B）21i55+（C）105i-（D）105i33-（2）如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点.那么=EF（A）1123ABAD-（B）1142ABAD+（C）1132ABDA+（D）1223ABAD-（3）若数列na满足：119a=，13(*)nnaanN，则数列na的前n项和数值最大时，n的值是（A）6（B）7（C）8（D）9（4）已知平面，，直线l，若^，l=，则（A）垂直于平面的平面一定平行于平面（B）垂直于直线l的直线一定垂直于平面（C）垂直于平面的平面一定平行于直线l（D）垂直于直线l的平面一定与平面,都垂直（5）函数()sin(2)(,)fxAxA=+?R的部分图象如图所示，那么(0)f=（）（A）12-（B）32-（C）1-（D）3-FEDCBA（6）执行如图所示的程序框图，输出的i值为（）（A）5（B）6（C）7（D）8（7）已知函数2()cossinfxxx，那么下列命题中假命题．．．是（）（A）()fx既不是奇函数也不是偶函数（B）()fx在[,0]-上恰有一个零点（C）()fx是周期函数（D）()fx在(,2上是增函数（8）点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能．．．是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）直线二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）5(1)x+的展开式中2x的系数是.（用数字作答）21世纪教育网（10）若实数,xy满足40,20,250,xyxyxyì+-?ïïïï--?íïï+-?ïïî则2zxy=+的最大值为.（11）抛物线2xay=过点1(1,)4A，则点A到此抛物线的焦点的距离为.（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C°）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是____________，气温波动较大的城市是____________.开始i=1,s=0s=s+2i-1is≤100i=i+1输出i结束是否22(1)2xy，过点（13）已知圆C：(1,0)A的直线l将圆C分成弧长之比为1:3的两段圆弧，则直线l的方程为.（14）已知正三棱柱'''ABCABC-的正（主）视图和侧（左）视图如图所示.设,'''ABCABC的中心分别是,'OO，现将此三棱柱绕直线'OO旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度（x可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为()Sx，则函数()Sx的最大值为；最小正周期为.8,3说明：“三棱柱绕直线'OO旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2AB，3sin3B.（Ⅰ）求cosA及sinC的值；（Ⅱ）若2b=，求ABC的面积.(16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；甲城市乙城市908773124722047侧（左）视图正（主）视图43（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望.(17)（本小题满分14分）在四棱锥PABCD-中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，90ABC??，2ABPBPCBCCD====，平面PBC^平面ABCD.（Ⅰ）求证：AB^平面PBC；（Ⅱ）求平面PAD和平面BCP所成二面角（小于90°）的大小；（Ⅲ）在棱PB上是否存在点M使得CM∥平面PAD？若存在，求PMPB的值；若不存在，请说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数2()e()xfxxaxa，其中a是常数.(Ⅰ)当1a时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k，使得关于x的方程()fxk在[0,)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围.(19)（本小题满分14分）已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0,1)，且离心率为32,Q为椭圆C的左顶点.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知过点6(,0)5的直线l与椭圆C交于A，B两点.（ⅰ）若直线l垂直于x轴，求AQB的大小;（ⅱ）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由.PABCD[来源:21世纪教育网](20)（本小题满分14分）已知集合{1,2,3,,}(*)Mnn=?N，若集合12{,,,}(*)mAaaaMm=臀N，且对任意的bMÎ，存在,(1)ijaaAijm危＃，使得12ijbaa=+（其中12,{1,0,1}?），则称集合A为集合M的一个m元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合A是否为集合M的一个二元基底，并说明理由；①{1,5}A=，{1,2,3,4,5}M=；②{2,3}A=，{1,2,3,4,5,6}M=.（Ⅱ）若集合A是集合M的一个m元基底，证明：(1)mmn+?；（Ⅲ）若集合A为集合{1,2,3,,19}M=的一个m元基底，求出m的最小可能值，并写出当m取最小值时M的一个基底A.海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2012．0121世纪教育网一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ADBD[来源:21世纪教育网]CABD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）5（10）7（11）54（12）乙，乙（13）3(1)3yx=+或3(1)3yx=-+（14）8；3注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2AB，所以2coscos212sinABB==-.………………………………………2分因为3sin3B，所以11cos1233A=-?.………………………………………3分由题意可知，(0,)2BÎ.所以26cos1sin3BB=-=.………………………………………5分因为22sinsin22sincos3ABBB===.………………………………………6分所以sinsin[()]sin()CABAB=-+=+53sincoscossin9ABAB=+=.………………………………………8分（Ⅱ）因为sinsinbaBA=，2b=，………………………………………10分所以232233a=.所以463a=.………………………………………11分所以1202sin29ABCSabC==.………………………………………13分(16)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A，则23!15!10PA.………………………………………4分所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.………………………………………5分（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0,1,2,3.………………………………………6分24!205!5PX，323!315!10PX，22!32!125!5PX，23!135!10PX.………………………………………10分随机变量X的分布列为：X0123P2531015110因为231101231510510EX，所以随机变量X的数学期望为1.………………………………………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ABC??，所以ABBC.………………………………………1分因为平面PBC^平面ABCD，平面PBC平面ABCDBC=，ABÌ平面ABCD，所以AB^平面PBC.………………………………………3分（Ⅱ）解：取BC的中点O，连接PO.因为PBPC=，所以POBC.因为平面PBC^平面ABCD，平面PBC平面ABCDBC=，POÌ平面PBC，所以PO^平面ABCD.………………………………………4分如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz．不妨设2BC=.由直角梯形ABCD中2ABPBPCBCCD====可得(0,0,3)P，(1,1,0)D-，(1,2,0)A.所以(1,1,3)DP=-，(2,1,0)DA=.设平面PAD的法向量(,,)=xyzm.因为0,0.DPDAìï?ïíï?ïîmm所以(,,)(1,1,3)0,(,,)(2,1,0)0,xyzxyzìï?=ïíï?ïî即30,20.xyzxyìï-+=ïíï+=ïî令1x=，则2,3yz=-=-.所以(1,2,3)=--m.………………………………………7分取平面BCP的一个法向量n0,1,0.所以2cos,2mnmnmn.所以平面ADP和平面BCP所成的二面角（小于90°）的大小为4.………………………………………9分（Ⅲ）解：在棱PB上存在点M使得CM∥平面PAD，此时12PMPB=.理由如OzyxPABCD下：………………………………………10分取AB的中点N，连接CM，CN，MN.[来源:21世纪教育网]则MN∥PA，12ANAB=.因为2ABCD=，所以ANCD=.因为AB∥CD，所以四边形ANCD是平行四边形.所以CN∥AD.因为,MNCNNPAADA==，所以平面MNC∥平面PAD.………………………………………13分因为CMÌ平面MNC，所以CM∥平面PAD.………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由2()e()xfxxaxa可得2'()e[(2)]xfxxax.………………………………………2分当1a时,(1)ef,'(1)4ef.………………………………………4分所以曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为e4e1yx，即4e3eyx.………………………………………5分（Ⅱ）令2'()e((2))0xfxxax，解得(2)xa或0x.………………………………………6分当(2)0a，即2a时，在区间[0,)上，'()0fx，所以()fx是[0,)上的增函数.所以方程()fxk在[0,)上不可能有两个不相等的实数根.………………………………………8分当(2)0a，即2a时，'(),fxfx随x的变化情况如下表x0(0,(2))a(2)a((2),)a'()fx0-0[来源:21世纪教育网]+NMPABCD()fxa↘24eaa↗由上表可知函数()fx在[0,)上的最小值为24((2))eaafa.………………………………………10分因为函数()fx是(0,(2))a上的减函数，是((2),)a上的增函数，且当xa时，有()fxe()aaa.………………………………………11分所以要使方程()fxk在[0,)上有两个不相等的实数根，k的取值范围必须是24(,]eaaa.……………………………………13分(19)（本小题满分