2018版高中数学专题10解密函数中的恒成立与能成立问题特色训练新人教A版选修1_1

专题10解密函数中的恒成立与能成立问题一、选择题1．【四川省成都外国语学校2017-2018学年高一上学期期中】若函数16log1612xxfxm有零点,则实数m的取值范围（）A.1,4B.1,16C.,16D.1,164【答案】A【方法点睛】本题主要考查函数的零点、利用导数求函数的最值，属于难题.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数,ygxyhx的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为,yaygx的交点个数的图象的交点个数问题.2．【黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期中】已知e为自然对数的底数，若对任意的1,1xe，总存在唯一的0,y，使得lnln1yyxxay成立，则实数a的取值范围是()A.,0B.,0C.2,eeD.,1【答案】B【解析】【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．3．【湖北省重点高中联考协作体2017年秋季高三期中考】若函数212xfxkex在区间0,单调递增，则实数k的取值范围是（）A.1,eB.0,C.1,eD.0,【答案】C【解析】∵212xfxkex，∴xfxkex。∵函数212xfxkex在0,单调递增，∴0xfxkex在0,上恒成立，即xxke在0,上恒成立。令xxgxe，则1xxgxe，∴当01x时，0,gxgx单调递增，当1x时，0,gxgx单调递减。∴max11gxge。∴1ke。选C。点睛：函数的单调性与导函数的关系（1）若在,ab内0(0)fx，则fx在,ab上单调递增（减）．（2）fx在,ab上单调递增（减）'0fx（0）在,ab上恒成立，且在,ab的任意子区间内都不恒等于0．（3）若函数fx在区间,ab内存在单调递增（减）区间，则0(0)fx在,ab上有解．4．【云南省昆明市高新技术开发区2018届高考适应性月考】设函数fx在R上存在导函数fx，对于任意的实数x，都有26fxxfx，当,0x时，2112fxx，若22212199fmfmmm，则实数m的取值范围是（）A.2,3B.1,2C.1,D.2,【答案】A5．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】“2a”是“函数222fxxax在区间,2内单调递减”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当2a时，'24fxx，令2402xx，当函数222fxxax在区间,2内单调递减时，只需'220fxxa在区间,2恒成立，故2a即可，所以选B二、解答题6．【上海市复旦大学附属中学2017届高三上学期第一次月考】已知函数21xfxx；（1）若关于x的方程30xfxm在1,x上有解，求实数m的最大值；（2）是否存在00x，使得003xfx成立？若存在，求出0x，若不存在，说明理由；【答案】（1）52；（2）不存在；【解析】试题分析：（1）方程在1,x上有解，等价于3xfxm有解，只需求3xfx的最大值即可；（2）假设存在00x，可推导出矛盾，即可证明不存在.7．【安徽省阜阳市临泉县第一中学2018届高三上学期第二次模拟】已知函数为常数，.（1）当在处取得极值时，若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.（2）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）的取值范围是【解析】试题分析：（1）对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范围；（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围.所以在上单调递增，所以问题等价于对任意，不等式成立设，则当时，，所以在区间上单调递减，此时所以不可能使恒成立，故必有，因为若，可知在区间上单调递增，在此区间上有满足要求若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是.点睛：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题.在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会.8．【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第三次月考】设函数ln,xfxxaxgxeax，其中a为实数．若fx在1,上是单调减函数，且gx在1,上有最小值，求a的取值范围；【答案】ae【解析】试题分析：fx在1,上是单调减函数等价于10fxax在1,上恒成立，利用分离参数可得a的范围，对gx进行求导，xgxea，将导函数的零点和1进行比较，可分为1ae和ae两种情形，通过导数判断单调性.点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用之导数与单调性的关系，导数与最值的关系，属于基础题；函数在某区间内单调递减等价于该函数的导数在该区间内小于等于0恒成立，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为ahx或ahx恒成立，即maxahx或minahx即可，利用导数知识结合单调性求出maxhx或minhx即得解.9．【河南省郑州市第一中学2018届高三上学期期中】已知函数ln111fxxkx.（1）求函数fx的单调区间；（2）若0fx恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：ln2ln3ln4345*1lnN,114nnnnnn.【答案】（1）见解析；（2）1k；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）对函数fx求导得11kkxfxx，对k进行分类讨论，即可得到函数的单调区间；（2）由（1）可得，0k时，fx在0，上是增函数，而20f，0fx不成立，故0k，由（1）可得max11fxfk，即可求出k的取值范围；（3）由（2）知，当1k时，有0fx在1，恒成立，即ln12xx，进而换元可得22ln1nn，所以ln112nnn，即可得证.（2）由（1）知，0k时，210fk不可能成立；若0k，0fx恒成立max110fxfk，11ln0fkk，得1k综上，1k.（3）由（2）知，当1k时，有0fx在1,上恒成立，即ln12xx令2*1N,1xnnn，得22ln1nn，即ln112nnnln2ln3ln4ln3451nn1123122224nnn，得证.点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.10．【辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学2018届高三10月月考】已知函数21ln202fxxaxxa.（1）若函数fx在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（2）若12a，且关于x的方程12fxxb在1,4上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围.【答案】(1),1；(2)5ln22,4.【解析】试题分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导0fx在x＞0上恒成立即可．（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数图象与x轴的交点的问题．min2ln22gxg，514g，42ln22g，3142ln24gg134ln404，得14gg则5ln22,4b.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11．【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考】已知函数1xfxea，函数ln,gxaxxaR.（Ⅰ）求函数ygx的单调区间；（Ⅱ）若不等式1fxgx在1,上恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若1,x，求证不等式12ln1xexx.【答案】(1)g(x)的增区间10,a，减区间1,a;(2)0a;(3)见解析.（Ⅱ）1fxgx即1ln10xexaax在1,上恒成立设1ln1xFxexaax，考虑到10F11xFxeax，在1,上为增函数，111,0xxex，当0a时，0Fx，Fx在1,上为增函数，0Fx恒成立当0a时，10F，'Fx在1,上为增函数01,x，在01,x上，0Fx，Fx递减，0Fx，这时不合题意，综上所述，0a点睛：这是一道比较综合的导数题目，首先研究函数的单调区间，一般是通过求导，研究导函数的正负，来判断。恒成立求参的问题，可以转化为函数最值问题，或者含参讨论，证明不等式恒成立，也可以转化为函数最值问题，或者转化为一边函数的最小值，大于另一边函数的最大值，这种方法仅限于证明。12．【北京市朝阳区2018届高三上学期期中统一考试】已知函数11lnfxkxkxx，kR．（Ⅰ）求函数fx的单调区间；（Ⅱ）当0k时，若函数fx在区间1,2内单调递减，求k的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）102k.【解析】试题分析：(1)求导211kxxfxx，对k分类讨论，得到函数的单调区间；（2）函数fx在区间1,2内单调递减，即不等式在2110kxxx在1,2上成立，利用二次函数的图象与性质，易得k的取值范围.试题解析：（Ⅰ）函数fx的定义域为|0xx.222211111