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2015-2016学年北京十三中分校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．）1．抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x=﹣1B．直线x=1C．直线x=﹣2D．直线x=22．若将抛物线y=2x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（2，﹣1）3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：AB=1：3，若△ADE的面积等于4，则△ABC的面积等于（）A．12B．16C．24D．364．如图，在4×4的正方形网格中，tanα的值等于（）A．B．C．D．5．如图，在平面直角坐标系中，以P（4，6）为位似中心，把△ABC缩小得到△DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为（）A．（4，2）B．（4，4）C．（4，5）D．（5，4）6．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据，根据所测数据不能求出A，B间距离的是（）A．BC，∠ACBB．DE，DC，BCC．EF，DE，BDD．CD，∠ACB，∠ADB7．将抛物线y=2x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A．y=﹣2x2B．y=﹣2x2+1C．y=2x2﹣1D．y=﹣2x2﹣18．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2B．y=2x2C．y=﹣x2D．y=x29．二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：x…﹣2﹣10123…y…50﹣3﹣4﹣30…当函数值y＜0时，x的取值范围是（）A．﹣2＜x＜0B．﹣1＜x＜0C．﹣1＜x＜3D．0＜x＜210．如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．已知△ABC∽△A1B1C1，AB：A1B1=2：3，则S△ABC与S△A1B1C1之比为．12．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC：AC=3：4，则cosA=．13．点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x2﹣4x﹣1的图象上，若当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，则y1与y2的大小关系是y1y2．（用“＞”、“＜”、“=”填空）14．二次函数y=m2x2+（2m+1）x+1的图象与x轴有两个交点，则m取值范围是．15．在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD中，AD∥BC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形”．经过思考，小明说“添加AD=BC”，小红说“添加AB=DC”．你同意的观点，理由是．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x2﹣2x图象位于x轴上方的部分记作F1，与x轴交于点P1和O；F2与F1关于点O对称，与x轴另一个交点为P2；F3与F2关于点P2对称，与x轴另一个交点为P3；…．这样依次得到F1，F2，F3，…，Fn，则其中F1的顶点坐标为，F8的顶点坐标为，Fn的顶点坐标为（n为正整数，用含n的代数式表示）．三、解答题（本题共72分，第17-21题，每小题6分，第22-25题，每小题6分，第26题7分，第27题7分，第28题8分）17．计算：3tan30°+2cos45°﹣sin60°﹣2sin30°．18．已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点，（1）求：二次函数的表达式；（2）求：二次函数的对称轴、顶点坐标，并画出此二次函数的图象．19．如图，▱ABCD中，点E在BA的延长线上，连接CE，与AD相交于点F．（1）求证：△EBC∽△CDF；（2）若BC=8，CD=3，AE=1，求AF的长．20．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，sinA=，AB=13，CD=12，求AD的长和tanB的值．21．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？22．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处．（1）B处距离灯塔P有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．23．如图，在四边形ABCD中，∠C=60°，∠B=∠D=90°，AD=2AB，CD=3，求BC的长．24．在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）经过变换τ得到点P′（x′，y′），该变换记作τ（x，y）=（x′，y′），其中（a，b为常数）．例如，当a=1，且b=1时，τ（﹣2，3）=（1，﹣5）．（1）当a=1，且b=﹣2时，τ（0，1）=；（2）若τ（1，2）=（0，﹣2），则a=，b=；（3）设点P（x，y）是直线y=2x上的任意一点，点P经过变换τ得到点P′（x′，y′）．若点P与点P′重合，求a和b的值．25．动手操作：小明利用等距平行线解决了二等分线段的问题．作法：（1）在e上任取一点C，以点C为圆心，AB长为半径画弧交c于点D，交d于点E；（2）以点A为圆心，CE长为半径画弧交AB于点M；∴点M为线段AB的二等分点．解决下列问题：（尺规作图，保留作图痕迹）（1）仿照小明的作法，在图2中作出线段AB的三等分点；（2）点P是∠AOB内部一点，过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，请找出一个满足下列条件的点P．（可以利用图1中的等距平行线）①在图3中作出点P，使得PM=PN；②在图4中作出点P，使得PM=2PN．26．小东同学在学习了二次函数图象以后，自己提出了这样一个问题：探究：函数的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了如下探究：下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）函数的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣2﹣10234…y…m…则m的值是；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）小东进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：．27．如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q．（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q．设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A，EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．28．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．（1）①如图2，求出抛物线y=x2的“完美三角形”斜边AB的长；②抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是；（2）若抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；（3）若抛物线y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y=mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值．2015-2016学年北京十三中分校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．）1．抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x=﹣1B．直线x=1C．直线x=﹣2D．直线x=2【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线的顶点式y=（x﹣h）2+k直接看出对称轴是x=h．【解答】解：∵抛物线的顶点式为y=（x﹣1）2+2，∴对称轴是x=1．故选B．【点评】要求熟练掌握抛物线解析式的各种形式的运用．2．若将抛物线y=2x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（2，﹣1）【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向下平移，纵坐标减解答即可．【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），∵向左平移2个单位，向下平移1个单位，∴新抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的平移规律左减右加，上加下减解答是解题的关键．3．（2015秋•北京校级期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：AB=1：3，若△ADE的面积等于4，则△ABC的面积等于（）A．12B．16C．24D．36【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由条件证明△ADE∽△ABC，且相似比为，再利用相似三角形的性质可求得△ABC的面积．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=（）2=，∵S△ADE=2，∴=，解得S△ABC=36．故选D．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．4．如图，在4×4的正方形网格中，tanα的值等于（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】直接根据锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：∵AD⊥BC，AD=3，BD=2，∴tanα==．故选C．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．5．如图，在平面直角坐标系中，以P（4，6）为位似中心，把△ABC缩小得到△DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为（）A．（4，2）B．（4，4）C．（4，5）D．（5，4）【考点】位似变换．【专题】数形结合．【分析】根据两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点，即可得出F点的坐标．【解答】解：∵△DEF∽△ABC，且F点在CP的连线上，∴可得F点位置如图所示：故P点坐标为（4，4）．故选B．【点评】本题考查位似的定义，难度不大，注意掌握两位似图形的对应点的连线都经过同一点，这一点即是位似中心．6．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据，根据所测数据不能求出A，B间距离的是（）A．BC，∠ACBB．DE，DC，BCC．EF，DE，BDD．CD，∠ACB，∠ADB【考点】相似三角形的应用．【分析】根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性质，根据即可解答．【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，A、因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；B、无法求出A，B间距离．C、因为△ABD∽△EFD，可利用，求出AB；D、可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；据所测数据不能求出A，B间距离的是选项B；故选：B．【点评】本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用；将实际问题转化为数学