搜索
《22.1.5用待定系数法求二次函数解析式》一、选择题：1．二次函数的图象经过（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）三点，则它的解析式为（）A．y=x2+6x+3B．y=﹣3x2﹣2x+3C．y=2x2+8x+3D．y=﹣x2+2x+32．已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（）A．x=﹣1B．x=1C．x=3D．x=﹣33．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（）A．y=﹣x2﹣2x﹣3B．y=x2﹣2x﹣3C．y=x2﹣2x+3D．y=﹣x2+2x﹣34．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A．y=（x﹣2）2+1B．y=（x+2）2+1C．y=（x﹣2）2﹣3D．y=（x+2）2﹣35．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的解析式为（）x…﹣1012…y…﹣1﹣﹣2﹣…A．y=x2﹣x﹣B．y=x2+x﹣C．y=﹣x2﹣x+D．y=﹣x2+x+6．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2B．y=2x2C．y=﹣x2D．y=x27．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）A．y=x2﹣x﹣2B．y=﹣x2﹣x+2C．y=﹣x2﹣x+1D．y=﹣x2+x+28．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题：9．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为______．10．与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，顶点为（3，1）的二次函数解析式为______．11．若抛物线y=x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是______．12．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a______b．13．抛物线y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为______．14．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是______．15．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式______．16．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…从上表可知，下列说法中正确的是______．（填写序号）①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．17．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，顶点C到x轴的距离为2，则此抛物线的解析式为______．18．已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为______．三、解答题：19．求出符合条件的二次函数解析式：（1）二次函数图象经过点（﹣1，0），（1，2），（0，3）；（2）二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，6），且经过点（﹣2，10）；（3）二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y轴交点的纵坐标为9．20．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．21．已知二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴的交点为（0，﹣2），求此二次函数的解析式．22．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C（0，﹣2），过点A、C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长．23．已知抛物线与x轴交于A、B两点．（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．《22.1.5用待定系数法求二次函数解析式》参考答案与试题解析一、选择题：1．二次函数的图象经过（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）三点，则它的解析式为（）A．y=x2+6x+3B．y=﹣3x2﹣2x+3C．y=2x2+8x+3D．y=﹣x2+2x+3【解答】解：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，把（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）代入得解得，所以二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，故选：D．2．已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（）A．x=﹣1B．x=1C．x=3D．x=﹣3【解答】解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把点（0，4），（1，﹣1），（2，4）代入可得，解得，则二次函数解析式为y=5x2﹣10x+4=5（x﹣1）2﹣1，对称轴x=1．故选：B．3．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（）A．y=﹣x2﹣2x﹣3B．y=x2﹣2x﹣3C．y=x2﹣2x+3D．y=﹣x2+2x﹣3【解答】解：把（3，0）与（2，﹣3）代入抛物线解析式得：，由直线x=1为对称轴，得到﹣=1，即b=﹣2a，代入方程组得：，解得：a=1，b=﹣2，c=﹣3，则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，故选B4．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A．y=（x﹣2）2+1B．y=（x+2）2+1C．y=（x﹣2）2﹣3D．y=（x+2）2﹣3【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x=2，∴可排除B、D选项，将点（0，1）代入A中，得（x﹣2）2+1=（0﹣2）2+1=5，故A选项错误，代入C中，得（x﹣2）2﹣3=（0﹣2）2﹣3=1，故C选项正确．故选：C．5．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的解析式为（）x…﹣1012…y…﹣1﹣﹣2﹣…A．y=x2﹣x﹣B．y=x2+x﹣C．y=﹣x2﹣x+D．y=﹣x2+x+【解答】解：∵抛物线过点（0，﹣）和（2，﹣），∴抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把（﹣1，﹣1）代入得4a﹣2=﹣1，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣2=x2﹣x﹣．故选A．6．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2B．y=2x2C．y=﹣x2D．y=x2【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．则﹣2=4a即得a=﹣，那么y=﹣x2．故选：C．7．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）A．y=x2﹣x﹣2B．y=﹣x2﹣x+2C．y=﹣x2﹣x+1D．y=﹣x2+x+2【解答】解：A、由图象可知开口向下，故a＜0，此选项错误；B、抛物线过点（﹣1，0），（2，0），根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是，而y=﹣x2﹣x+2的顶点横坐标是﹣=﹣，故此选项错误；C、y=﹣x2﹣x+1的顶点横坐标是﹣，故此选项错误；D、y=﹣x2+x+2的顶点横坐标是，并且抛物线过点（﹣1，0），（2，0），故此选项正确．故选D．8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：从图象得出，二次函数的对称轴在一，四象限，且开口向上，∴a＞0，﹣＞0，因此b＜0，∵二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴，∴c＜0，∴a＞0，＞0，则点M（，a）在第一象限．故选：A．二、填空题：9．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为y=﹣x2+4x﹣3．【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，将B（1，0）代入y=a（x﹣2）2+1得，a=﹣1，函数解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，展开得y=﹣x2+4x﹣3．故答案为y=﹣x2+4x﹣3．10．与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，顶点为（3，1）的二次函数解析式为y=（x﹣3）2+1．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2+1，因为抛物线y=a（x﹣3）2+1与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，所以a=，所以所求抛物线解析式为y=（x﹣3）2+1．故答案为y=（x﹣3）2+1．11．若抛物线y=x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是4．【解答】解：∵y=x2﹣4x+c=（x﹣2）2+c﹣4，∴其顶点坐标为（2，c﹣4），∵顶点在x轴上，∴c﹣4=0，解得c=4，故答案为：4．12．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a＞b．【解答】解：∵二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值，∴抛物线开口方向向上，即a＞0；又最小值为1，即﹣b=1，∴b=﹣1，∴a＞b．故答案是：＞．13．抛物线y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．【解答】解：据题意得解得∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．14．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是y=﹣x2﹣2x+3．【解答】解：可先从抛物线y=x2﹣2x﹣3上找三个点（0，﹣3），（1，﹣4），（﹣1，0）．它们关于原点对称的点是（0，3），（﹣1，4），（1，0）．可设新函数的解析式为y=ax2+bx+c，则c=3，a﹣b+c=4，a+b+c=0．解得a=﹣1，b=﹣2，c=3．故所求解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．15．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式y=（x﹣2）2﹣1．【解答】解：因为开口向上，所以a＞0∵对称轴为直线x=2，∴﹣=2∵y轴的交点坐标为（0，3），∴c=3．答案不唯一，如y=x2﹣4x+3，即y=（x﹣2）2﹣1．16．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…从上表可知，下列说法中正确的是①③④．（填写序号）①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．【解答】解：根据图表，当x=﹣2，y=0，根据抛物线的对称性，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；∴抛物线的对称轴是直线x=3﹣=，根据表中数据得到抛物线的开口向下，∴当x=时，函数有最大值，而不是x=0，或1对应的函数值6，并且在直线x=的左侧，y随x增大而增大．所以①③④正确，②错．故答案为：①③④．17．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，顶点C到x轴的距离为2，则此抛物线的解析式为y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵顶点C到x轴的距离为2，∴C点坐标为（1，2）或（1，﹣2），设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），把C（1，2）代入得a×3×（﹣3）=2，解得a=﹣，所以此时抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+；把C（1，﹣2）代入得a×3×（﹣3）=﹣2，解得a=，所以此时抛物线解析式为y=（x+2）（x﹣4）=x2﹣x﹣，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣．故答案为y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣．18．已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为y=﹣x2+x或y=x2+x