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期中检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(D)2．已知m是方程x2－x－2＝0的一个根，则代数式m2－m＋2的值等于(A)A．4B．1C．0D．－13．已知点P关于x轴对称的点P1的坐标是(2，3)，，那么点P关于原点的对称点P2的坐标是(D)A．(－3，－2)B．(2，－3)C．(－2，－3)D．(－2，3)4．用配方法解下列方程时，配方有错误的是(C)A．2m2＋m－1＝0化为(m＋14)2＝916B．x2－6x＋4＝0化为(x－3)2＝5C．2t2－3t－2＝0化为(t－32)2＝2516D．3y2－4y＋1＝0化为(y－23)2＝195．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是(B)A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位6．已知二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值1，则a，b的大小关系为(A)A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．不能确定7．如图，在正方形ABCD中，△ABE经旋转，可与△CBF重合，AE的延长线交FC于点M，以下结论正确的是(C)A．BE＝CEB．FM＝MCC．AM⊥FCD．BF⊥CF8．已知α，β是关于x的方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m的值是(B)A．3或－1B．3C．1D．－3或19．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出，若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位的租出，以每次提高2元的这种方法变化下去，为了获利最大，每床每晚收费应提高(C)A．4元或6元B．4元C．6元D．8元10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：①b2－4ac＞0；②2a＋b＜0；③4a－2b＋c＝0；④a∶b∶c＝－1∶2∶3.其中正确的是(D)A．①②B．②③C．③④D．①④二、填空题(每小题3分，共24分)11．已知二次函数y＝12(x－1)2＋4，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是__x≤1___．12．亲爱的同学们，我们在教材中已经学习了：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤菱形．在以上五种几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是__②⑤___．13．若|b－1|＋a－4＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是__k≤4且k≠0___．14．抛物线y＝x2－2(k＋1)x＋16的顶点在x轴上，则k＝__3或－5___．15．方程x2－2x－1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则(x1－1)(x2－1)＝__－2___．16．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是__20%___．17．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝__1∶2___．18．如图，Rt△OAB的顶点A(－2，4)在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为__(2，2)___．三、解答题(共66分)19．(8分)解方程：(1)2x2＋3＝7x；(2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋3＝0.解：x1＝12，x2＝3解：x1＝－1，x2＝－220．(6分)已知关于x的方程x2－4x＋m－1＝0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．解：m＝5，x1＝x2＝221．(7分)某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传染x人．(1)求第一轮传染后患病的人数；(用含x的代数式表示)(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生？请说明理由．解：(1)(1＋x)人(2)由题意，得x－1＋x(x－1)＝21，解得x1＝22，x2＝－22，∵x1，x2都不是整数，∴这种情况不会发生22.(8分)已知二次函数y＝x2－x－6.(1)画出函数的图象；(2)观察图象，指出方程x2－x－6＝0的解及不等式x2－x－6＞0解集；(3)求二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积．解：(1)图略(2)方程x2－x－6＝0的解是x1＝－2，x2＝3；不等式x2－x－6＞0的解集为x＜－2或x＞3(3)三角形的面积为1523．(8分)某水渠的横截面呈抛物线，水面的宽度为AB(单位：米)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O.已知AB＝8米，设抛物线解析式为y＝ax2－4.(1)求a的值；(2)点C(－1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．解：(1)∵AB＝8，由抛物线的性质可知OB＝4，∴B(4，0)，把B点坐标代入解析式得16a－4＝0，解得a＝14(2)过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，∵a＝14，∴y＝14x2－4，令x＝－1，∴m＝14×(－1)2－4＝－154.∴C(－1，－154)，∵C关于原点对称点为D，∴D的坐标为(1，154)，则CE＝DF＝154(米)，S△BCD＝S△BOD＋S△BOC＝12OB·DF＋12OB·CE＝12×4×154＋12×4×154＝15(平方米)，∴△BCD的面积为15平方米24．(9分)把一副三角板如图①放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝10cm，DC＝17cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°，得到△D1CE1，如图②，这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F.(1)求∠OFD1的度数；(2)求线段AD1的长；(3)若把△D1CE1绕着点C顺时针再旋转30°，得△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部，还是边上？请说明理由．解：(1)设D1E1与BC交于点G，在Rt△CE1G中，∠GCE1＝15°，∴∠CGE1＝75°，∴∠FGB＝75°，又∠B＝45°，∴∠OFD1＝∠BFG＝60°(2)由旋转知∠ACO＝45°，∴AO＝OC＝12AB＝5cm，∴OD1＝12cm，可证∠AOD1＝∠AOC＝90°，由勾股定理可求AD1＝13cm(3)设直线CB交D2E2于点M，∴∠MCE2＝45°，∠E2＝90°，∴CE2＝ME2＝172，∴CM＝1722，而CB＝52＜CM，故点B在△D2CE2的内部25.(9分)某汽车租赁公司拥有20辆汽车，据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元，设公司每日租出x辆车时，日收益为y元．(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为__(1400－50x)___元；(用含x的代数式表示)(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大收益是多少元？(3)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？解：(2)y＝x(－50x＋1400)－4800＝－50x2＋1400x－4800＝－50(x－14)2＋5000，∴当x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000，∴当日租出14辆时，租赁公司的日收益最大，最大日收益是5000元(3)租赁公司的日收益不盈也不亏，即y＝0，∴－50(x－14)2＋5000＝0，解得x1＝24，x2＝4.∵x＝24，不合题意，舍去，∴当每日租出4辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏26．(11分)在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，一条直角边靠在两坐标轴上，且有点A(0，2)，点C(－1，0)，抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B.(1)求点B的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)过点B作BD⊥x轴，垂足为D.∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠CAO＝90°，∴∠BCD＝∠CAO.又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，∴△BCD≌△CAO，∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，∴点B坐标为(－3，1)(2)∵抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B(－3，1)，∴1＝9a－3a－2，解得a＝12，∴抛物线的解析式为y＝12x2＋12x－2(3)假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点，则延长BC至点P1，使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1，可求得点P1(1，－1)；②若以点A为直角顶点，则在AC右侧过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1，可求得点P2(2，1)；③若以点A为直角顶点，则在AC左侧过点A作AP3⊥CA，且使得AP3＝AC，得到等腰直角三角形ACP3，过P3作P3G⊥y轴于G，同理可证△AGP3≌△COA，∴GP3＝OA＝2，AG＝OC＝1，∴P3(－2，3)．经检验，点P1(1，－1)与点P2(2，1)都在抛物线y＝12x2＋12x－2上，点P3(－2，3)不在抛物线上