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2016-2017学年福建省福州市永泰县九年级（上）期中数学试卷一、选择题：选一个正确答案的序号填入括号内，每小题3分，共30分．1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，1）D．（﹣2，﹣1）3．下列方程中有两个相等实数根的是（）A．x2﹣1=0B．（x+2）2=0C．x2+3=0D．（x﹣3）（x+5）=04．将抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是（）A．y=（x﹣2）2﹣3B．y=（x+2）2﹣3C．y=（x﹣2）2+3D．y=（x+2）2+35．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞1C．k≠0D．k＞﹣1且k≠06．设二次函数y=2（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（）A．（1，0）B．（3，0）C．（0，﹣4）D．（﹣3，0）7．某种药品原价为40元/盒，经过连续两次降价后售价为28元/盒，设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（）A．40（1﹣x）2=40﹣28B．40（1﹣2x）=28C．40（1﹣x）2=28D．40（1﹣x2）=288．已知关于x的方程ax2+bx+c=0，若a﹣b+c=0，则该方程一定有一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．29．已知二次函数y=x2+x+m，当x取任意实数时，都有y＞0，则m的取值范围是（）A．mB．mC．mD．m10．如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在的平面内可作旋转中心的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：每小题4分，共24分．11．方程2x2=x的根是．12．若关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣2k=0一个根是﹣1，则另一个根是．13．如图所示，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC延长线上的D点处，则旋转角∠BAD=度．14．如图，在△ABC中，BC=2，∠ABC=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，其中点B与点D是对应点，点C与点E是对应点，连接BD，则BD的长为．15．请写出一个二次函数，使其满足以下条件：①图象开口向下；②图象的对称轴为直线x=2；它的解析式可以是．16．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a+3b+c＞0；④若B（，y1）、C（2，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）．三、解答题：共96分．17．解方程：（1）3x（x+1）=2（x+1）；（2）x2﹣6x+2=0．18．二次函数中y=ax2+bx+1的x、y的部分对应值如下表：x﹣10123ym1﹣1﹣11求该二次函数的解析式及m的值．19．平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，点O、B对应点分别是C、D．（1）若点B的坐标是（﹣4，0），请在图中画出△ACD，并写出点C、D的坐标；（2）当点D落在第一象限时，试写出一个符合条件的点B的坐标．20．已知二次函数y=x2+x﹣．（1）用配方法将y=x2+x﹣化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）根据图象填空：①当x时，y随x的增大而增大；②当﹣2＜x＜2时，则y的取值范围是；③关于x的方程x2+x﹣=m没有实数解，则m的取值范围是．21．回答下面的例题：解方程：x2﹣|x|﹣2=0．解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2．请参照例题解方程x2+|x﹣4|﹣8=0．22．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）=0．（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．23．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．（1）若每个房间定价增加40元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？（2）若宾馆某一天获利10640元，则房价定为多少元？（3）房价定为多少时，宾馆的利润最大？24．如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点M是BC的中点，作正方形MNPQ，使点A、C分别在MQ和MN上，连接AN、BQ．（1）直接写出线段AN和BQ的数量关系是．（2）将正方形MNPQ绕点M逆时针方向旋转θ（0°＜θ≤360°）①判断（1）的结论是否成立？请利用图2证明你的结论；②若BC=MN=6，当θ（0°＜θ≤360°）为何值时，AN取得最大值，请画出此时的图形，并直接写出AQ的值．25．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣4经过点A（5，﹣5），若抛物线顶点为P．（1）求点P的坐标；（2）在直线OA上方的抛物线上任取一点M，连接MO、MA，求△MOA的面积取得最大时的点M坐标；（3）如图1，将原抛物线沿射线OP方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OP交于C、D两点．试问线段CD的长度是否为定值，若是请求出这个定值；若不是请说明理由．（提示：若点C（x1，y1），D（x2，y2），则CD的长度d=）2016-2017学年福建省福州市永泰县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：选一个正确答案的序号填入括号内，每小题3分，共30分．1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】结合中心对称图形的概念求解即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、是中心对称图形，本选项正确；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、不是中心对称图形，本选项错误．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，1）D．（﹣2，﹣1）【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点B的坐标．【解答】解：∵点A坐标为（﹣2，1），∴点B的坐标为（2，﹣1）．故选B．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．3．下列方程中有两个相等实数根的是（）A．x2﹣1=0B．（x+2）2=0C．x2+3=0D．（x﹣3）（x+5）=0【考点】根的判别式．【分析】分别求出每个方程的根即可判断．【解答】解：A、x2﹣1=0中x=1或x=﹣1，错误；B、（x+2）2=0中x=﹣2，正确；C、方程x2+3=0无实数根，错误；D、（x﹣3）（x+5）=0中x=3或x=﹣5，错误；故选：B．【点评】本题主要考查解方程的能力，根据方程的特点灵活选择解方程的方法是解题的关键．4．将抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是（）A．y=（x﹣2）2﹣3B．y=（x+2）2﹣3C．y=（x﹣2）2+3D．y=（x+2）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．【解答】解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y=（x﹣2）2﹣3．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．5．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞1C．k≠0D．k＞﹣1且k≠0【考点】根的判别式．【分析】方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后可以求出k的取值范围．【解答】解：由题意知k≠0，△=4+4k＞0解得k＞﹣1且k≠0．故选D．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、一元二次方程的二次项系数不为0．6．设二次函数y=2（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（）A．（1，0）B．（3，0）C．（0，﹣4）D．（﹣3，0）【考点】二次函数的性质．【分析】由二次函数解析式可求得抛物线的对称轴，则可求得答案．【解答】解：∵y=2（x﹣3）2﹣4，∴对称轴为x=3，∵点M在直线l上，∴M点的横坐标为3，故选B．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．7．某种药品原价为40元/盒，经过连续两次降价后售价为28元/盒，设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（）A．40（1﹣x）2=40﹣28B．40（1﹣2x）=28C．40（1﹣x）2=28D．40（1﹣x2）=28【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=28，把相应数值代入即可求解．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为40（1﹣x）元，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为40（1﹣x）×（1﹣x）元，则列出的方程是40（1﹣x）2=28，故选C．【点评】此题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．8．已知关于x的方程ax2+bx+c=0，若a﹣b+c=0，则该方程一定有一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】一元二次方程的解．【分析】根据x=﹣1时方程ax2+bx+c=0中a﹣b+c=0可得答案．【解答】解：∵方程ax2+bx+c=0中a﹣b+c=0，∴x=﹣1，故选：A．【点评】本题主要考查方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．9．已知二次函数y=x2+x+m，当x取任意实数时，都有y＞0，则m的取值范围是（）A．mB．mC．mD．m【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】二次函数开口向上，当x取任意实数时，都有y＞0，则b2﹣4ac＜0，据此即可列不等式求解．【解答】解：b2﹣4ac=1﹣4m＜0，解得：m＞．故选D．【点评】本题考查了抛物线与x轴交点个数，个数由b2﹣4ac的符号确定，当△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10．如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在的平面内可作旋转中心的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心．【解答】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D；把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C；把正方形ABCD绕CD的中点旋转180°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为CD的中点．故选C．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角