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2016-2017学年四川省自贡市牛佛片区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x2=1B．x+=1C．x+2y=1D．x（x﹣1）=x22．已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（）A．﹣3B．3C．0D．0或33．不解方程，判断方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．二次函数y=x2+1的图象大致是（）A．B．C．D．5．已知抛物线y=﹣（x﹣1）2+4，下列说法错误的是（）A．开口方向向下B．形状与y=x2相同C．顶点（﹣1，4）D．对称轴是x=16．将x2+4x﹣5=0进行配方变形，下列正确的是（）A．（x+2）2=9B．（x﹣2）2=9C．（x+2）2=1D．（x﹣2）2=17．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y=3（x﹣1）2﹣2B．y=3（x+1）2﹣2C．y=3（x+1）2+2D．y=3（x﹣1）2+28．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣14x+48=0的两根，则此三角形的斜边长为（）A．6B．8C．10D．149．如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条即图中的阴影部分，横竖彩条的宽度比为2：1．如果要使阴影所占面积是图案面积的，则竖彩条宽度为（）A．1cmB．2cmC．19cmD．1cm或19cm10．如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？（）A．1B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．若抛物线y=a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），则a=．12．方程x2﹣x=0的解是．13．为解决老百姓看病贵的问题，对某种原价为400元的药品进行连续两次降价，降价后的价格为256元，设每次降价的百分率为x，则依题意列方程为：．14．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5=0的解为．15．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是．三、解答题（共2小题，满分16分）16．解方程：（1）x2+3x﹣2=0（2）（x+8）（x+1）=﹣12．17．某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？四、解答题（共2个题，每小题8分，共16分）18．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．19．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？五、解答题（共2个题，每题10分，共20分）20．已知二次函数y=﹣（a+b）x2﹣2cx+a﹣b中，a、b、c是△ABC的三边．（1）当抛物线与x轴只有一个交点时，判断△ABC是什么形状；（2）当x=﹣时，该函数有最大值，判断△ABC是什么形状．21．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0．（1）当k取何值方程有两个实数根．（2）是否存在k值使方程的两根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为．六、解答题（本题满分24分）22．小红的父母开了一个小服装店，出售某种进价为40元的服装，现每件60元，每星期可卖300件．该同学对市场作了如下调查：每降价1元，每星期可多卖20件；每涨价1元，每星期要少卖10件．（1）小红已经求出在涨价情况下一个星期的利润w（元）与售价x（元）（x为整数）的函数关系式为w=﹣10（x﹣65）2+6250，请你求出在降价的情况下w与x的函数关系式；（2）在降价的条件下，问每件商品的售价定为多少时，一个星期的利润恰好为6000元？（3）问如何定价，才能使一星期获得的利润最大？23．在Rt△ACB中，∠C=90°，点O是AB的中点，点M，N分别在边AC，BC上，OM⊥ON，连MN，AC=4，BC=8，设AM=a，BN=b，MN=c．（1）求证：a2+b2=c2；（2）①若a=1，求b；②探究a与b的函数关系；（3）△CMN面积的最大值为（不写解答过程）八、解答题（本题满分14分）24．已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年四川省自贡市牛佛片区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x2=1B．x+=1C．x+2y=1D．x（x﹣1）=x2【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、x2=1是一元二次方程，故A正确；B、x+=1是分式方程，故B错误；C、x+2y=1是二元一次方程，故C错误；D、x（x﹣1）=x2是一元一次方程，故D错误；故选：A．2．已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（）A．﹣3B．3C．0D．0或3【考点】一元二次方程的解．【分析】直接把x=2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．【解答】解：∵x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，∴4+2m+2=0，∴m=﹣3．故选A．3．不解方程，判断方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【考点】根的判别式．【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=1＞0，由此即可得出结论．【解答】解：∵在方程2x2﹣3x+1=0中，△=（﹣3）2﹣4×2×1=1＞0，∴方程2x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根．故选A．4．二次函数y=x2+1的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象．【分析】利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图象找出答案即可．【解答】解：二次函数y=x2+1中，a=1＞0，图象开口向上，顶点坐标为（0，1），符合条件的图象是B．故选：B．5．已知抛物线y=﹣（x﹣1）2+4，下列说法错误的是（）A．开口方向向下B．形状与y=x2相同C．顶点（﹣1，4）D．对称轴是x=1【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、抛物线y=﹣（x﹣1）2+4，a=﹣1＜0，抛物线开口向下，此选项正确；B、抛物线y=﹣（x﹣1）2+4形状与y=x2相同，此选项正确；C、抛物线y=﹣（x﹣1）2+4顶点坐标是（1，4），此选项错误；D、抛物线y=﹣（x﹣1）2+4对称轴x=1，此选项正确．故选：C．6．将x2+4x﹣5=0进行配方变形，下列正确的是（）A．（x+2）2=9B．（x﹣2）2=9C．（x+2）2=1D．（x﹣2）2=1【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：移项，得：x2+4x=5，配方：x2+4x+4=5+4，即（x+2）2=9．故选A．7．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y=3（x﹣1）2﹣2B．y=3（x+1）2﹣2C．y=3（x+1）2+2D．y=3（x﹣1）2+2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．【解答】解：抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y=3（x﹣1）2﹣2，故选：A．8．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣14x+48=0的两根，则此三角形的斜边长为（）A．6B．8C．10D．14【考点】解一元二次方程-因式分解法；勾股定理．【分析】先解方程x2﹣14x+48=0，得出两根，再利用勾股定理来求解即可．【解答】解：∵x2﹣14x+48=0，∴（x﹣6）（x﹣8）=0，∴x=6或8；∴两直角边为6和8，∴此三角形的斜边长==10，故选：C．9．如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条即图中的阴影部分，横竖彩条的宽度比为2：1．如果要使阴影所占面积是图案面积的，则竖彩条宽度为（）A．1cmB．2cmC．19cmD．1cm或19cm【考点】一元二次方程的应用．【分析】可设竖彩条的宽是xcm，则横彩条的宽是2xcm，根据彩条所占面积是图案面积的，可列方程求解．【解答】解：设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则（30﹣2x）（20﹣4x）=30×20×（1﹣），整理得：x2﹣20x+19=0，解得：x1=1，x2=19（不合题意，舍去）．答：竖彩条的宽度为1cm．故选：A．10．如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？（）A．1B．C．D．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．【解答】解：∵y=﹣x2+4x﹣k=﹣（x﹣2）2+4﹣k，∴顶点D（2，4﹣k），C（0，﹣k），∴OC=k，∵△ABC的面积=AB•OC=AB•k，△ABD的面积=AB（4﹣k），△ABC与△ABD的面积比为1：4，∴k=（4﹣k），解得：k=．故选：D．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．若抛物线y=a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），则a=﹣1．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据点（1，﹣2）在抛物线上利用二次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），∴﹣2=a（1﹣3）2+2=4a+2，解得：a=﹣1．故答案为：﹣1．12．方程x2﹣x=0的解是0或1．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【解答】解：原方程变形为：x（x﹣1）=0，∴x=0或x=1．13．为解决老百姓看病贵的问题，对某种原价为400元的药品进行连续两次降价，降价后的价格为256元，设每次降价的百分率为x，则依题意列方程为：400（1﹣x）2=256．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是400（1﹣x）2，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程400（1﹣x）2=256．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一降价售价为400（1﹣x），则第二次降价为400（1﹣x）2，由题意得：400（1﹣x）2=256．故答案为：400（1﹣x）2=256．14．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5=0的解为x=3或x=﹣7．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】此题考查学生的分析问题和探索问题的能力．解题的关键是理解题意，在此题中x+2=a，5=b，代入所给公式得：（x+2）*5=（x+2）2﹣52，则可得一元二次方程，解方程即可求得．【解答】解：据题意得，∵（