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《第21章一元二次方程》一、选择题1．有下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0，②3x（x﹣4）=0，③x2+y﹣3=0，④+x=2，⑤x3﹣3x+8=0，⑥x2﹣5x+7=0．其中是一元二次方程的有（）A．2B．3C．4D．52．方程2（x+1）2=1化为一般式为（）A．2x2+4x+2=1B．x2+4x=﹣1C．2x2+4x+1=0D．2x2+2x+1=03．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6B．（x+2）2=9C．（x﹣1）2=6D．（x﹣2）2=94．方程x2=x的解是（）A．x=1B．x=0C．x1=1，x2=0D．x1=﹣1，x2=05．下列方程中，一定有实数解的是（）A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（x﹣a）2=a6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5B．k＜5，且k≠1C．k≤5，且k≠1D．k＞57．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定8．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7B．10C．11D．10或11二、填空题9．当方程（m+1）x﹣2=0是一元二次方程时，m的值为．10．已知x2+x﹣1=0，则3x2+3x﹣9=．11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0有一根为x=﹣1，则a+b=．12．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（写出一个即可）．13．若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为．14．某公司在2014年的盈利额为200万元，预计2016年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2015年的盈利额为万元．三、解答题15．解方程：x2﹣1=2（x+1）．16．先化简，再求值：（+4）÷，其中x的值是方程x2+x=0的根．17．在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：（1）求4△3的值；（2）求（x+2）△5=0中x的值．18．已知：关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数值时，用合适的方法求该方程的解．19．如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）=0，其中a，b，c分別为△ABC三边长．（1）若方程有两个相等的实数根．试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．21．某商场销售一批童装，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定适当降价．据测算，每件童装每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场每天要盈利1200元，且要让顾客有更多的实惠，则每件童装应降价多少元？22．为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．23．阅读材料：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=﹣，x1x2=．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x1，x2是方程x2+6x﹣3=0的两根，求x12+x22的值．解法可以这样：∵x1+x2=﹣6，x1x2=﹣3则x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（﹣6）2﹣2×（﹣3）=42．请你根据以上解法解答下题：已知x1，x2是方程x2﹣4x+2=0的两根，求：（1）的值；（2）（x1﹣x2）2的值．《第21章一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题1．有下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0，②3x（x﹣4）=0，③x2+y﹣3=0，④+x=2，⑤x3﹣3x+8=0，⑥x2﹣5x+7=0．其中是一元二次方程的有（）A．2B．3C．4D．5【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义得到在所给的方程中是一元二次方程的有3x（x﹣4）=0，x2﹣5x+7=0．【解答】解：下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0，②3x（x﹣4）=0，③x2+y﹣3=0，④+x，⑤x3﹣3x+8=0，⑥x2﹣5x+7=0．其中是一元二次方程为3x（x﹣4）=0，x2﹣5x+7=0．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．2．方程2（x+1）2=1化为一般式为（）A．2x2+4x+2=1B．x2+4x=﹣1C．2x2+4x+1=0D．2x2+2x+1=0【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】利用完全平方公式把括号展开，化为ax2+bx+c=0的形式即可．【解答】解：把方程左边两式相乘得2x2+4x+2=1整理得，2x2+4x+1=0．故选C．【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，即一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．3．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6B．（x+2）2=9C．（x﹣1）2=6D．（x﹣2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】方程思想．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x2﹣2x=5，方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x2﹣2x+1=6∴（x﹣1）2=6．故选：C．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．方程x2=x的解是（）A．x=1B．x=0C．x1=1，x2=0D．x1=﹣1，x2=0【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】方程移项后提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程移项得：x2﹣x=0，分解因式得：x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x1=1，x2=0．故选C【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．5．下列方程中，一定有实数解的是（）A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（x﹣a）2=a【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】根据非负数的性质和直接开平方法解方程进行判断．【解答】解：A、由原方程得到：x2=﹣1＜0，故本方程无解；B、直接开平方得到：2x+1=0，由此可以求得x的值，故本方程有实数解；C、由原方程得到：（2x+1）2=﹣3＜0，故本方程无解；D、当a＜0时，本方程无解．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5B．k＜5，且k≠1C．k≤5，且k≠1D．k＞5【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，∴，即，解得：k＜5且k≠1．故选B．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键．7．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【考点】根的判别式．【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．【解答】解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出△=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键．8．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7B．10C．11D．10或11【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC的周长为10或11．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系．二、填空题9．当方程（m+1）x﹣2=0是一元二次方程时，m的值为﹣1．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答．【解答】解：因为原式是关于x的一元二次方程，所以m2+1=2，解得m=±1．又因为m﹣1≠0，所以m≠1，于是m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．本题容易忽视的条件是m﹣1≠0．10．已知x2+x﹣1=0，则3x2+3x﹣9=﹣6．【考点】代数式求值．【专题】计算题．【分析】已知等式变形求出x2+x的值，原式变形后把x2+x的值代入计算即可求出值．【解答】解：由x2+x﹣1=0，得到x2+x=1，则原式=3（x2+x）﹣9=3﹣9=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0有一根为x=﹣1，则a+b=2016．【考点】一元二次方程的解．【分析】由方程有一根为﹣1，将x=﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．【解答】解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0得：a+b﹣2015=0，即a+b=2016．故答案是：2016．【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．12．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是0（写出一个即可）．