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吉林省长春市德惠市2015届九年级上学期期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．根式的值是（）A．﹣3B．3C．3或﹣3D．92．若（m﹣1）2+=0，则m+n的值是（）A．﹣1B．0C．1D．23．下列计算正确的是（）A．4﹣3=1B．+=C．3+2=5D．2=4．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（）A．B．C．D．5．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（）A．4条B．3条C．2条D．1条6．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是（）A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1＞y27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，则BC的长为（）A．4B．2C．D．8．某超市第二季度的营业额为200万元，第四季度的营业额为288万元．如果每季度营业额的平均增长率相同，那么每季度的平均增长率是（）A．10%B．15%C．20%D．30%二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．当x时，有意义．10．事件“某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖”是事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．11．如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是．12．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和．月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A′的坐标为．13．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=2，则S1+S2=．14．如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′，点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域的面积为．三、解答题（共8小题，满分78分）15．（1）计算：2﹣3+．解方程：x2﹣5x+6=0．16．先化简，再求值：，其中，．17．某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．18．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）19．红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．（1）请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．20．如图，△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）．请选择其中的一对三角形，说明其相似的理由．21．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．小明发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．（1）请回答：∠ACE的度数为，AC的长为．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求AC的长．22．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．吉林省长春市德惠市2015届九年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．根式的值是（）A．﹣3B．3C．3或﹣3D．9考点：二次根式的性质与化简．分析：根据二次根式的性质：=|a|进行化简，然后再去绝对值即可．解答：解：=|﹣3|=﹣（﹣3）=3．故选B．点评：此题需要注意的是二次根式的非负性，即=|a|≥0．2．若（m﹣1）2+=0，则m+n的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．分析：根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．解答：解：由题意得，m﹣1=0，n+2=0，解得m=1，n=﹣2，所以，m+n=1+（﹣2）=﹣1．故选A．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．3．下列计算正确的是（）A．4﹣3=1B．+=C．3+2=5D．2=考点：二次根式的加减法．分析：分别利用二次根式的性质和二次根式加减运算法则求出即可．解答：解：A、4﹣3=，故此选项错误；B、+，无法计算，故此选项错误；C、3+2，无法计算，故此选项错误；D、2×=，故此选项正确．故选：D．点评：此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．4．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（）A．B．C．D．考点：概率公式．分析：先求出球的所有个数与红球的个数，再根据概率公式解答即可．解答：解：共8球在袋中，其中5个红球，故摸到红球的概率为，故选：C．点评：本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．5．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（）A．4条B．3条C．2条D．1条考点：相似三角形的判定．分析：过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．解答：解：如图所示，∵△ABC是直角三角形，过M点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，∴只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点M可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．6．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是（）A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1＞y2考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：对于二次函数y=﹣x2+bx+c，根据a＜0，抛物线开口向下，在x＜1的分支上y随x的增大而增大，故y1＜y2．解答：解：∵a＜0，x1＜x2＜1，∴y随x的增大而增大∴y1＜y2．故选：B．点评：此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，则BC的长为（）A．4B．2C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：根据cosB=，可得=，再把AB的长代入可以计算出CB的长．解答：解：∵cosB=，∴=，∵AB=6，∴CB=×6=4，故选：A．点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦．8．某超市第二季度的营业额为200万元，第四季度的营业额为288万元．如果每季度营业额的平均增长率相同，那么每季度的平均增长率是（）A．10%B．15%C．20%D．30%考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：先设增长率为x，那么四季度的营业额可表示为200（1+x）2，已知四季度营业额为288万元，即可列出方程，从而求解．解答：解：设每季度的平均增长率为x，根据题意得：200（1+x）2=288，解得：x=﹣2.2（不合题意舍去），x=0.2，则每季度的平均增长率是20%；故选C．点评：本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．当x≥时，有意义．考点：二次根式有意义的条件．专题：计算题．分析：根据二次根式的意义，被开方数是非负数，列不等式，求解集即可．解答：解：根据题意得：3x﹣1≥0，解得x≥．点评：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．10．事件“某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖”是随机事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．考点：随机事件．分析：利用事件的概率是指事件在特定条件下发生的可能性的大小即可作出判断解答：解：事件“某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖”是随机事件．故答案为：随机．点评：本题考查了随机事件，正确把握随机事件的定义是解题关键．11．如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是k＜1．考点：根的判别式．分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，然后解不等式即可．解答：解：∵关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，解得k＜1，∴k的取值范围为k＜1．故答案为：k＜1．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．12．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和．月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A′的坐标为．考点：坐标与图形变化-旋转．分析：根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状、大小及相对位置．解答：解：连接A′B，由月牙①顺时针旋转90°得月牙②，可知A′B⊥AB，且A′B=AB，由A（﹣2，0）、B，得AB=4，于是可得A′的坐标为．故答案为：．点评：此题主要考查了平面直角坐标系及图形的旋转变换的相关知识，学生往往因理解不透题意而出现问题．13．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=2，则S1+S2=8．考点：平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为