北京市西城区2015-2016年九年级上期末数学试题含答案解析

北京市西城区2015—2016学年度第一学期期末试卷九年级数学2016.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．二次函数257yx的最小值是A．7B．7C．5D．5【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】当x=5时，二次函数取最小值，最小值是7，所以选B【答案】B2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cosA的值为A．35B．53C．45D．34【考点】锐角三角函数【试题解析】∵AC=3,BC=4∴AB=5∴cosA=选A【答案】A3．如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为A．12B．122C．62D．63【考点】切线的性质与判定【试题解析】∵OP=CP=6∠CPO=90°∴OC=【答案】C4．将二次函数265yxx用配方法化成2()yxhk的形式，下列结果中正确的是A．2(6)5yxB．2(3)5yxC．2(3)4yxD．2(3)9yx【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】选C【答案】C5．若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12πcm，则此扇形的圆心角等于A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】弧长计算【试题解析】设圆心角为x，根据题意得：解得：x=120°选D【答案】D6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(1，2)，AB⊥x轴于点B．以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，则点A1的坐标为A．(2，4)B．(12，1)C．(2，4)D．(2，4)【考点】位似图形【试题解析】位似比是2，所以(-1,2)，横坐标和纵坐标都扩大2倍，所以点的坐标为(-2,4)选A【答案】A7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为A．40海里B．40tan37°海里C．40cos37°海里D．40sin37°海里【考点】解直角三角形【试题解析】∠A=37°∴BP=40sin37°(海里)∴选D【答案】D8．如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为A．30°B．45°C．50°D．70°【考点】弦、弧、圆心角的关系【试题解析】∠ABC=70°，∠ACB=30°∴弧BAC所对的圆周角为100°∵点D是中点∴∠DBC的度数为50°【答案】C9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为A．60(30020)yxB．(60)(30020)yxxC．300(6020)yxD．(60)(30020)yxx【考点】二次函数的概念及表示方法【试题解析】y=(60-x)(300+20x),BAC选B【答案】B10．二次函数228yxxm满足以下条件：当21x时，它的图象位于x轴的下方；当67x时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为A．8B．10C．42D．24【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】把x=-2带入得：8+16+m=0所以m=-24选D【答案】D二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若34ab，则abb的值为．【考点】分式的基本性质【试题解析】【答案】12．点A(3，1y)，B(2，2y)在抛物线25yxx上，则1y2y．（填“”，“”或“=”）【考点】二次函数的概念及表示方法【试题解析】=24y2=-6所以y2【答案】13．△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的周长为．【考点】相似三角形的应用【试题解析】根据相似比等于周长比所以15：5=3△ABC的周长为30所以△DEF的周长=90【答案】9014．如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A=30°，AB=20．点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD=．【考点】三角形的性质及其分类【试题解析】当BD垂直AC时AD取值最大所以0AD，所以AD可以等于10.【答案】1015．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺．译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺．设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为．【考点】垂径定理及推论【试题解析】根据题意得：EA=DB-AC=4OE=x-4在直角三角形OEB中应用勾股定理得：【答案】16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是．【考点】切线的性质与判定【试题解析】根据定理，直径所对的圆周角是直角，∠OAP和∠OBP都是圆O直径所对的圆周角∵∠OAP=∠OBP=90°∴PA,PB就是⊙O的切线，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【答案】直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点P的⊙O的切线．PO如图，（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（3）作直线PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：24cos30tan60sin45．【考点】特殊角的三角函数值【试题解析】原式===．【答案】18．如图，△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°．求tanC的值．【考点】锐角三角函数【试题解析】∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵在Rt△ABD中，AB=12，∠BAD=30°，∴BD=AB=6，AD=AB·cos∠BAD=12·cos30°=．∵BC=15，∴CD=BC－BD=15－6=9．∴在Rt△ADC中，tanC===．【答案】19．已知抛物线223yxx与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积．【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】（1）令，则．解得，．∵点A在点B的左侧，∴A（，0），B（3，0）．对称轴为直线．（2）∵当时，，∴顶点C的坐标为（1，4）．∵点C，D关于x轴对称，∴点D的坐标为（1，）．∵AB=，∴【答案】(1)x=1;(2)16.20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．【考点】相似三角形判定及性质【试题解析】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB．（2）∵△ABD∽△DCB，∴．∵AB=12，AD=8，CD=15，∴．∴DB=10．【答案】（1）见解析（2）DB=1021．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？【考点】一元二次方程的应用【试题解析】根据题意，得．整理得．解得，．∵不符合题意，舍去，∴．答：人行通道的宽度是2米．【答案】2米22．已知抛物线1C：2124yxxk与x轴只有一个公共点．（1）求k的值；（2）怎样平移抛物线1C就可以得到抛物线2C：222(1)4yxk？请写出具体的平移方法；（3）若点A（1，t）和点B（m，n）都在抛物线2C：222(1)4yxk上，且nt，直接写出m的取值范围．【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】（1）∵抛物线：与x轴有且只有一个公共点，∴方程有两个相等的实数根．∴．解得．（2）∵抛物线：，顶点坐标为（1，0），抛物线：的顶点坐标为（-1，-8），∴将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度就可以得到抛物线．（3）【答案】（1）（2）见解析（3）23．如图，AB是⊙O的一条弦，且AB=43．点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB于点D，∠E=30°，连接OA．（1）求OA的长；（2）若AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为22，直接写出∠BAF的度数．【考点】圆的综合题【试题解析】（1）∵OC⊥AB于点D，∴AD=DB，∠ADO=90°．∵AB=，∴AD=．∵∠AOD=2∠E，∠E=30°，∴∠AOD=60°．∵在Rt△AOD中，sin∠AOD=，∴OA==4．（2）∠BAF=75°或15°．【答案】（1）4;（2）75°或15°24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【考点】解直角三角形【试题解析】∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=45°，∴∠BAD=90°—∠B=45°．∴∠BAD=∠B．∴AD=DB．设AD=x，∵在Rt△ADC中，tan∠ACD=，∠ACD=58°，∴DC=．∵DB=DC+CB=AD，CB=90，∴+90=x．将tan58°≈1.60代入方程，解得x≈240．答：最高塔的高度AD约为240米．【答案】240m25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．（1）求证：∠PCE=∠PEC；（2）若AB=10，ED=32，sinA=35，求PC的长．【考点】圆的综合题【试题解析】（1）证明：连接OC，如图1．∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴OC⊥PC．∴∠PCO=∠1+∠2=90°．∵PD⊥AB于点D，∴∠EDA=90°．∴∠A+∠3=90°．∵OA=OC，∴∠A=∠1．∴∠2=∠3．∵∠3=∠4，∴∠2=∠4．即∠PCE=∠PEC．（2）作PF⊥EC于点F，如图2．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵在Rt△ABC中，AB=10，，∴BC=AB·sinA=6．∴AC==8．∵在Rt△AED中，ED=，∴AE==．∴EC=AC－AE=．∵∠2=∠4，∴PE=PC．∵PF⊥EC于点F，∴FC=EC=，∠PFC=90°．∴∠2+∠5=90°．∵∠A+∠2=∠1+∠2=90°．∴∠A=∠5．∴sin∠5=．∴在Rt△PFC中